基本概念
二维高斯模糊，或者说高斯滤波，是图像处理中非常常见的操作。操作的核心是使用一个从高斯分布中采样得到的掩膜，或者叫核，和输入图片中的每个像素及其邻域进行计算，结果保存到输出图片中。假设高斯核窗口尺寸为(2w+1)×(2w+1)，高斯分布的标准差为 σ，则高斯核可以表示为矩阵的形式 
由于高斯分布的概率密度函数的非零值区间主要集中在 (−3σ,3σ) 内，所以为了保证选取的高斯核的完整性，一般取 w≈3σ。
说完了高斯核，该说高斯模糊的表达式了。设输入图片为 X，输出图片为 Y，第 i 行第 j 列的数据表示为 X(i,j) 和 Y(i,j)，则使用窗口大小为 (2w+1)×(2w+1)，标准差为 σ 的高斯核计算后的结果为
可分离核形式实现
但是，注意到，高斯核的表达式是可分离的。下面为了表示方便，令
Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢6101725334148517101725334148518111826344249529121927354350531013202836445154111421293745525512152230384653561215223038465357⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
符合局部性原则的内存访问加速
下面来考虑上述方法在内存访问效率方面的问题。利用 G2 和 X 计算 Z 的过程中，内存访问都是连续的，都是从左到右的形式。但是在利用 G1 和 Z 计算 Y 的过程中，取出每一列中的相邻数据，需要跨行。如果需要处理的图片宽度比较大，跨行访问数据可能会导致 Cache Miss，这是违反了内存访问局部性原则的。为了解决这一问题，利用 G1 和 Z 计算 Y 的方法需要调整。
实际上，利用 G1 和 Z 计算 Y 同样可以按行的方式计算。为了表述方便，以计算 Y 的第 2 行（下标从 0 开始）Y(2,⋅)为例，
Y(2,⋅)=G1(0)Z(0,⋅)+G1(1)Z(1,⋅)+G1(2)Z(2,⋅)+G1(3)Z(3,⋅)+G1(4)Z(4,⋅)
其中 G1(i) 表示 G1 的第 i 个元素，Z(i,⋅) 表示 Z 的第 i 行。在代码实现的时候，为了计算 Y(2,⋅)，初始化一个长度为 8 的浮点数行向量 T，令里面的值全等于零，然后用遍历行元素的方式进行如下计算
TTTTT=T+G1(0)Z(0,⋅)=T+G1(1)Z(1,⋅)=T+G1(2)Z(2,⋅)=T+G1(3)Z(3,⋅)=T+G1(4)Z(4,⋅)
最后将 T 中的浮点数的值四舍五入赋值给 Y(2,⋅)。这样就避免了内存访问跨行的问题。注意，为了满足内存访问的局部性，增加了内存使用量，多用了 T。对于边界行，按照镜像对称的方式选取相应行进行计算。比如，为了计算 Y(0,⋅)，初始化一个长度为 8 的浮点数行向量 T，令里面的值全等于零，然后用遍历行元素的方式进行如下计算
TTTTT=T+G1(0)Z(2,⋅)=T+G1(1)Z(1,⋅)=T+G1(2)Z(0,⋅)=T+G1(3)Z(1,⋅)=T+G1(4)Z(2,⋅)
最后将 T 中的浮点数的值四舍五入赋值给 Y(0,⋅)。扩展与总结
本文中所讲述的高斯模糊的计算方法，可以扩展到任意尺寸可分离核的滤波的实现。
设输入数据为 X，hX 行 wX 列，滤波核为 K，(2hK+1) 行 (2wK+1) 列，使用 K 对 X 进行二维滤波的结果是 Y。而直接采用二维循环的原始计算方法，需要进行 (2hK+1)×(2wK+1) 次乘法计算和 (2hK+1)×(2wK+1)−1 次加法计算。计算的时间复杂度是 O(wKhK) 的。
如果 K 是可分离核，可以写成列向量 Kvertical 和行向量 Kvertical 相乘的形式，即 K=Kvertical×Khorizontal。那么在计算滤波结果 Y 的时候，可以先用 Khorizontal 对 X 进行行滤波计算，将计算结果保存到 Z 中，计算 Z 中的每一个数值需要 (2wK+1) 次乘法计算和 2wK 次加法计算。再使用 Kvertical 对 Z 进行列滤波计算，得到最终结果 Y。在 Z 的基础上计算 Y 中的每一个数值需要 (2hK+1) 次乘法计算和 2hK 次加法计算。总的来说，根据 X 计算 Y 中的一个数值，需要进行 (2hK+2wK+2) 次乘法计算和 2hK+2wK 次加法计算。计算的时间复杂度从 O(wKhK)降至 O(wK+hK)。
列滤波的过程还可以考虑内存访问的局部性原则，以提高程序的运行效率。
可分离核的实现方法和列滤波的内存访问加速的实现方法，都需要消耗额外的内存，用空间复杂度的提高换取时间复杂度和效率的改进。
