【网络】网络流：最大流最小割问题

网络流问题中的最大流最小割问题。

反过来学习才是最好的掌握和理解路线：

第一、什么是网络流问题？

图中的浅蓝色数字，是实际走的流量，并且构成源点到终点的最大流量。

源节点1到节点4为什么不是7？

因为从节点4流出的水流，加起来才5！ 换句话说，到节点4就流不过去这么多了。

至于为何是4，而不是5，同样道理，因为节点3到节点6的容量有限制！

分析到这里大家可能发现了，即使不按照图中浅蓝色数字分配，也可以找到其他水流分配路径，使最大水流量达到10。但没有比10更高的了。

第二、最大流、最小割

上图网络流就是求解最大流的一个实例。10就是求解的最大流。由此，可以引出最大流的一些基本的定义和概念

可以这样看，图就是一种管道，管道有最大通过流量的限制，图中边的权值就是所谓的“容量”。同时，注意有唯一的源点和汇点。

这里需要注意容量和流量的区别。其中f(u,v)的范围需要额外注意，是 0<= f(u,v) <= c(u,v)，不会出现所谓的负流量。下图是对可行流的图示

有了可行流，我们还需要求最大流

解决最大流问题的常用到Ford-Fulkerson方法，之所以称其方法而不是算法，是因为在这种思想下包含着若干种时间复杂度不同的实现。

最小割

就是从图G(V,E)中去除一些边，使得图G中源点S到终点T不连通。如果去除的这些边的权和最小，就是最小割。这个权和可以证明等于网络的最大流量！（很明显在上图2中，如果切除边2->4、3->5，就是一个最小割，两条边的权和为7=最大流量7。）

因此  最大流等价于最小割！！！  求解最大流问题，也可以转化为最小割。

求最大流和求最小割集是两类不同的算法。

求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法

第三、图形分割算法（基于图论的方法）

图形切割算法通过向图G(V,E)添加S点和T点，将图中所有的顶点，与S和T建立边，并根据能量约束方程赋予边权值。就将图形分割与最小割问题相关联！

最后，最小割将图G分为两部分，图中所有顶点分别被划分到两个集合S-node、T-node中。此即图形分割！

Graph cuts是一种十分有用和流行的能量优化算法，在计算机视觉领域普遍应用于前背景分割（Image segmentation）、立体视觉（stereo vision）、抠图（Image matting）等。

       首先用一个无向图G=<V，E>表示要分割的图像，V和E分别是顶点（vertex）和边（edge）的集合。此处的Graph和普通的Graph稍有不同。而Graph Cuts图是在普通图的基础上多了2个顶点，这2个顶点分别用符号”S”和”T”表示，统称为终端顶点。其它所有的顶点都必须和这2个顶点相连形成边集合中的一部分。所以Graph Cuts中有两种顶点，也有两种边。

第一种顶点和边是：第一种普通顶点对应于图像中的每个像素。每两个邻域顶点（对应于图像中每两个邻域像素）的连接就是一条边。这种边也叫n-links。

第二种顶点和边是：除图像像素外，还有另外两个终端顶点，叫S（source：源点，取源头之意）和T（sink：汇点，取汇聚之意）。每个普通顶点和这2个终端顶点之间都有连接，组成第二种边。这种边也叫t-links。

最小割问题：就是从图G(V,E)中去除一些边，使得图G中源点S到终点T不连通。如果去除的这些边的权和最小，就是最小割。这个权和可以证明等于网络的最大流量！（很明显在上图2中，如果切除边2->4、3->5，就是一个最小割，两条边的权和为7。）

参考链接

网络流问题：

http://wenku.baidu.com/view/7ed3c241a8956bec0975e32b.html
http://www.cnblogs.com/ShaneZhang/p/3755479.html

最大流/最小割算法总结：http://blog.csdn.net/euler1983/article/details/5954650
图像分割：

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8532111

最小割问题：就是从图G(V,E)中去除一些边，使得图G中源点S到终点T不连通。如果去除的这些边的权和最小，就是最小割。这个权和可以证明等于网络的最大流量！（很明显在上图2中，如果切除边2->4、3->5，就是一个最小割，两条边的权和为7。）

转载自：http://blog.csdn.net/jingmiaa/article/details/52814814