主动队列RED算法的理论分析

 之前博客[4],基于网络流模型，分析了在没有丢包发生的情况下，tcp在网络动态行为。本篇分析下在丢包发生的情况下，网络的动态行为。内容主要来自于[1,2]。丢包模型为主动队列管理算法RED的丢包方式。

符号 定义 W tcp流的窗口大小 q 链路中排队长度 R rtt，端到端时延,R(t)=q(t)C+Tp C 链路带宽 Tp 固定时延即传输时延 N 链路中tcp会话的数量 p 丢包概率

 根据[3]建立的随机微分方程，窗口与队列长度满足如下方程：
W˙(t)=1R(t)−W(t)W(t−R(t))2R(t−R(t))p(t−R(t))(1)
q˙(t)=W(t)R(t)N(t)−C(2)
 对于方程f(x,y,z),有如下结论：
Δf=fxΔx+fyΔy+fzΔz(3)
 假设系统达到operating point(W0,q0,p0)，W˙(t)=0,q˙(t)=0,k可以认为W(t)=W(t−R(t)):
W˙(t)=0⇒W02p0=2,q˙(t)=0⇒W0=CR0N,R0=q0C+Tp(4)
若认为q在其区间不发生变化，R0为常量,在operating point附近对方程进行线性化处理。

δW˙(t)=−NR20C(δW(t)+δW(t−R0))−R0C22N2δp(t−R0)

δq˙(t)=NR0δW(t)−1R0δq(t)(5)
 对上述两个方程拉普拉斯变换，即是[1]中的Fig2.
 当W(t)=W(t−R(t)),即是[1]中的Fig3.
 [2]中模型基本不变，但是考虑了q对窗口的影响，即q为时间的函数，就是δW˙(t)与δW(t)，δq(t)，δp(t−R0)相关，可以参看其文中的方程4。
[1]Hollot C V, Misra V, Towsley D, et al. A control theoretic analysis of RED[C]//INFOCOM 2001. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Societies. Proceedings. IEEE. IEEE, 2001, 3: 1510-1519.
[2]Hollot C V, Misra V, Towsley D, et al. Analysis and design of controllers for AQM routers supporting TCP flows[J]. IEEE Transactions on automatic control, 2002, 47(6): 945-959.
[3]Misra V, Gong W B, Towsley D. Fluid-based analysis of a network of AQM routers supporting TCP flows with an application to RED[C]//ACM SIGCOMM Computer Communication Review. ACM, 2000, 30(4): 151-160.
[4]TCP Fluid Model