2.2硬件系统和软件系统的建模

硬件系统和软件系统的的建模

简单电路图的建模

首先我们先看一张简单的电路图。

可以发现该电路图中包含一个输入变量x,一个寄存器r和一个输出变量y。其中输出函数：y=¬(x⊕r)，寄存器的赋值函数：r=x∨r

考虑到当寄存器的值为1时，寄存器的值不变，故当r=0时，电路行为能够建模成一个过渡系统，它的状态 空间为：S=Eval(x,r)(Eval(x,r)表示下x,r赋值的集合)

该TS的初始状态为I={<x=0,r=0>,<x=1,r=0>}。因为确定性，初始状态为哪个都有可能。假设初始状态为<x=0,r=1>，当输入x=0时，状态转换为<x=0,r=1>，当输入x=1时，状态转换为<x=1,r=1>

接下来，我们考虑标记函数。状态<x=0,r=1>被标记为{r}，因为此时y的值为0，最终被标签的TS如下图所示

例子中提到的方法可以在任意顺序电路上实现。若电路包含输入x1,x2…xn，输出y1,y2..ym以及寄存器r1,r2…rk，则系统的状态由n个输入和k个寄存器组成，输出可由系统状态演算得到。
对于过渡系统：TS=(S,Act,→,I,AP,L)。我们给出寄存器的初始赋值：[r1=c0,1…rk=c0,k](表示给寄存器i赋值0，0＜i≤k)。

• 系统的空间状态为：S=Eval(x1,…,xn,r1,…,rk)
• 系统的初始状态：I={(a1,a2,…,an,c(0,1),c(0,2),…,c(0,k)|a1,…,an属于{0，1}}
• 因为Act这里不考虑，故用Act={τ}表示
• 原子命题集合：AP={x1,…,xn,y1,…,ym,r1,…,rk}

软件系统的建模

数据依赖系统的执行行为主要有条件分支所确定，比如

if x%2=1 then x:=x+1 else x:=2 fi
原则上，当我们作为一个过渡系统建模一个程序片段时，过渡的条件会被我们省略，而条件分支会以不确定性的形式表现出来。这会导致过渡系统十分抽象，只有一部分相关的性质是有效的。故我们提出条件转换(conditional transitions),条件转换的带有条件分支的结果图能够展开成为过渡系统

我们扩充饮料自动售货机，nsoda表示自动售货机中soda的数量，nbeer表示自动售货机中beer的数量，若自动售货机中为空，则会返回硬币。如此之外，我们仅设置两个位置：start和select。以下条件转换

建模了投入硬币和重置自动贩卖机。条件转换以g:α的形式表示，g是一个布尔表达式(也叫guard),α是一个当g成立时将会执行的动作。条件转换

建模了当苏打水或啤酒有剩余时贩卖机的操作。当贩卖机里没有啤酒和苏打水时，补充啤酒和苏打水，条件转换如下

若我们定义最大容量为max，那么不同的动作会对变量造成不同的影响。具体如下

所谓程序图(program graphs)，即用位置信息表示节点，用条件过渡表示边，显然该图并不是过渡系统，因为边是由条件构成的。但是一个过渡系统能够通过展开程序图来得到，下图为当max为2时，程序图展开为过度系统的图。

本质上讲，程序图包含以下内容

• 变量集Var，这些变量都是标准类型的变量
• dom(x)表示某个变量x的值域
• Cond(Var)表示Var上的布尔表达式
• x=(x1,x2,…,xn)
• D=dom(x1)×…×dom(xn)

它是一个每条边上标记有条件变量和相应动作的有向图。动作的影响我们可以用以下式子形式化的表示

Effect:Act×Eval(Var)→Eval(Var)
若α表示动作x:=y+5，其中x，y是整数变量，η表示赋值，分别是η(x)=17，η(y)=-2，则

Effect(α,η)(x)=η(y)+5=3,Effect(α,η)(y)=η(y)=-2