也谈圆周率计算

1. 圆周率计算历史

[1] [2] [3] [4]给出详尽的关于圆周率p计算的历史。我们这里仅给出几个有代表性的事件。

1.1第一个将p计算到小数点后2位数字的是古希腊数学家阿基米德(Archimedes)，阿基米德是有史以来最伟大的三个数学家之一，另外两个是牛顿和高斯。

1.2.第一个将p计算到小数点后7位以上者是中国南北朝时期的数学家祖冲之，他的记录保持了1000多年，直到1424年才被中亚数学家阿尔卡西(AI-Kashi）打破.

1.3.第一个将p计算到100位以上者，是英国数学家梅钦（John Machin）,他在1706将p计算到100位。

1.4.第一个突破500位，是威廉·香克斯（ William Shanks），他在1874年，将p计算至707位，但只有527位是正确的。

1.5.p的手工计算最高纪录由是英国的弗格森(DF Ferguson)，1948他和美国的伦奇共同发表了p的808位小数值。

1.6第一个突破1000位的是DF Ferguson和JohnWrench，他们使用台式计算器将p计算至1120位，这也是计算机出现之前的最高纪录。

1.7第一个突破10000位，Francois Genuys， 他在1958年1月用一台IBM 704将p计算到1万位。

1.8.第一个突破1亿位的，是日本人金田康正(Yasumasa Kanada)，他在1987年1月，他在一台NEC SX-2电脑上，将p计算到134,214,700位。

1.9第一个突破1万亿位的，也是日本人金田康正，他使用的就是一种Machine公式。

 

2.p的算法

2.1.多边型法在文艺复兴时代（或者说17世纪）之前，p都是通过计算多边形的周长来近似得到的。这类算法很慢，祖冲之将p算至小数点后7位花了15年时间。

2.2梅钦公式或类梅钦公式，这个公式是英国数学家梅钦（John Machin）提出，1706年梅钦计算p值突破100位小数大关，他利用了如下公式：

这个公式有2项，每项都是一个常数乘以arctan(1/p)形式的数。而arctan(1/p)的展开式是一个级数形式，可以使用普通的方法来计算，也可以使用Binarysplitting方法使得计算效率更高。这个公式非常好用，甚至在2002年12月，金田康正首次将p计算到1万亿位以上时，他使用的就是一种Machine公式，这个公式是挪威人Størmer提出来的，见[3]和[7]

2.3拉马努金公式和Chudnovsky公式

印度传奇数学家给出多个计算p的公式，见[10],这里我们贴出至今仍被广为使用的那个公式

楚德诺夫斯基（Chudnovsky）公式，楚德诺夫斯基兄弟是美国数学家和工程师，楚德诺夫斯基兄弟发明了一个新的公式，称之为Chudnovsky公式， 这个公式是Ramanujan公式改良的基础上改良而成的。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。

Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：

2.3 AGM算法

在1976年，理查德·布兰特(R.P.Brent)和尤金·萨拉明（Eugene Salamin）独立的发表了新的计算p的算法。称之为布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）算法。这个算法是一个迭代算法，每迭代一次，有效数字增加1倍。这个算法用到高斯-勒让德AGM迭代算法。其方法见下

初值：

重复计算：

最后计算：

4.当代p计算的几个重要人物

4.1金田康正（Kanada Yasumasa）。金田康正是一位日本数学家，东京大学信息科学系教授，在过去30年中他的21次计算中，创造了11次世界纪录。他的名字出现在[2]中多19次。

4.2 Chudnovsky兄弟,是美国数学家和工程师,他们开发了Chudnovsky算法，并多次创造了p的计算纪录。在[2]中，他们的名字出现了5次。

4.3法布里斯•贝拉（Fabrice Bellard），是一位杰出的软件工程师，FFmpeg和QEMU软件的创建者。他用自己开发的软件在一台CPU为Core i7 CPU 2.93GHz台式机上运行了90多天，将p算到小数点后27000亿位，创造了新的世界纪录。

4.4近藤茂（Shigeru Kondo）,近藤茂是一名狂热的p爱好者。他并非数学家，他总是使用别人写的程序来计算p。在近几年，他使用余智恒（Alexander Yee）开发的y-cruncher程序创造了3次世界纪录，分别将p计算到5万亿，10万亿，和12万亿位。他也曾用另一个程序PiFast创造了在PC上p计算位数的世界纪录，但计算位数没有超过当时的巨型机，故在[2]中没有提及。在[3]中，他的名字出现了23次，比如在2003年9月，他在一台P4-3.2GHZ的电脑上，将p计算到250亿位，见[3].

4.5．余智恒（Alexander Yee）是一位年轻的计算机天才，在2010年，近藤茂用他的程序创造了新的世界记录时，他仅仅22岁。如今，他的程序世界上计算p最快的程序。

5.几种计算圆周率的软件

5.1.   SuperPi，是金田康正基于运行巨型机上的程序改写的，可运行在普通PC的版本。Super Pi在超频社区非常流行，既可以作为测试这些系统性能的基准，也可以作为压力测试来检查它们是否仍然正常工作。该程序使用浮点FFT算法来做大数乘法，使用AGM算法来计算圆周率。相对于后来者，这个程序的速度并不是很快。我自己编写的仅仅使用Toom-4乘法和AGM算法的计算p的程序居然可和SuperPi打成平手。关于SuperPi,请参见[4]

5.2. PiFast，Xavier Gourdon的PiFast是2003年MicrosoftWindows最快的程序。据其作者称，它可以在2.4 GHz Pentium 4上以3.5秒计算一百万位数。PiFast还可以计算其它无理数等e和√2。它也可以在效率较低的情况下以很少的内存工作（低至几十兆以计算十亿位以上的数字）,PiFast可使用拉马努金公式和Chudnovsky公式来计算p，比SuperPi要快很多，但它是一个单线程的程序，运行在32位的操作系统，不能充分发挥CPU的计算能力。

5.3. Steve Pagliarulo写的QuickPiye也是同样优秀的计算p的程序，当计算精度在4亿位以下时，他的速度快于PiFast。像PiFast一样，QuickPi也可以计算其他的无理数，比如e，√2和√3。

5.4. y-cruncher，他是余智恒写的一个计算p的程序，可运行在32位或者64位操作系统，可工作于多线程模式或者单线程模式，可充分发挥CPU的计算能力。当然，这个程序也是最复杂的。[8]提到，这个程序的源码竟包含47万行以上的代码。[9]中提到，这个程序使用了多至9种计算大数乘法的算法。

5.5其他计算圆周率的程序，除了上述几个程序外，还有其他一个程序同样可计算圆周率，这里就不在重点介绍了。他们有wPrime，IntelBurnTest，Prime95，Montecarlo superPI，OCCT等。

6.y-cruncher和Pifast的性能比较，由于PiFast是32位程序，仅仅运行单线程模式。所以我的测试仅Focus在单线程模式，测试计算2500万位圆周率的运行时间，时间单位为秒。

测试结果1

运行环境

Win7 64bit, CPU: i7-4700HQ @ 2.40GHz, 8G RAM

程序

y-cruncher

PiFast

命令行或参数

y-cruncher custom pi -dec:25m -TD:1 -PF:none

0,0,25000000,2048,1

Final Multiply

0.213

1.51

Total time

8.039

45.55

Note:

Total time不包括从2进制转化10进制的时间。以Final Multiply步骤为参照。y-cruncher的速度是PiFast的7倍

 

测试结果2

运行环境

Win7 32bit, CPU: i7-2600K @ 3.40GHz, 16G RAM

程序

y-cruncher

PiFast

命令行或参数

y-cruncher custom pi -dec:25m -TD:1 -PF:none

0,0,25000000,2048,1

Final Multiply

0.704

1.29

Total time

22.513

40.34

Note:

Total time不包括从2进制转化10进制的时间，Final Multiply步骤为参照y-cruncher的速度是PiFast的1.8倍

 

 

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80π的近似值

[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80π计算年表

[3]http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.htmlp and its computation through the ages

[4]https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%86%E5%91%A8%E7%8E%87/139930百度百科圆周率

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Super_PI

[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Yasumasa_Kanada

[7]https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_St%C3%B8rmer

[8]http://www.numberworld.org/y-cruncher/algorithms.html

[9]http://www.numberworld.org/y-cruncher/internals/multiplication.html乘法

[10]http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html