中国剩余定理

来源：互联网发布：全国复杂网络大会编辑：程序博客网时间：2024/06/03 16:58

转载自：大神博客

中国剩余定理（CRT）的表述如下

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

代码：

[cpp] view plain copy
int CRT(int a[],int m[],int n)  
{  
    int M = 1;  
    int ans = 0;  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        M *= m[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
    {  
        int x, y;  
        int Mi = M / m[i];  
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);  
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;  
    }  
    if(ans < 0) ans += M;  
    return ans;  
}  

题目：http://poj.org/problem?id=1006

题意：人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一

天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日

期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少

再过多少天后三个峰值同时出现。

代码：

[cpp] view plain copy
#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
  
using namespace std;  
  
int a[4], m[4];  
  
void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)  
{  
    if(b == 0)  
    {  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return;  
    }  
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);  
    int tmp = x;  
    x = y;  
    y = tmp - (a / b) * y;  
}  
  
int CRT(int a[],int m[],int n)  
{  
    int M = 1;  
    int ans = 0;  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        M *= m[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
    {  
        int x, y;  
        int Mi = M / m[i];  
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);  
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;  
    }  
    if(ans < 0) ans += M;  
    return ans;  
}  
  
int main()  
{  
    int p, e, i, d, t = 1;  
    while(cin>>p>>e>>i>>d)  
    {  
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)  
            break;  
        a[1] = p;  
        a[2] = e;  
        a[3] = i;  
        m[1] = 23;  
        m[2] = 28;  
        m[3] = 33;  
        int ans = CRT(a, m, 3);  
        if(ans <= d)  
            ans += 21252;  
        cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;  
    }  
    return 0;  
}  

普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

那么得到

在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解，再带入

得到后合并为一个方程的结果为

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

题目：http://poj.org/problem?id=2891

代码：

[cpp] view plain copy
#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
const int N = 1005;  
  
LL a[N], m[N];  
  
LL gcd(LL a,LL b)  
{  
    return b? gcd(b, a % b) : a;  
}  
  
void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)  
{  
    if(b == 0)  
    {  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return;  
    }  
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);  
    LL tmp = x;  
    x = y;  
    y = tmp - (a / b) * y;  
}  
  
LL Inv(LL a, LL b)  
{  
    LL d = gcd(a, b);  
    if(d != 1) return -1;  
    LL x, y;  
    extend_Euclid(a, b, x, y);  
    return (x % b + b) % b;  
}  
  
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)  
{  
    LL d = gcd(m1, m2);  
    LL c = a2 - a1;  
    if(c % d) return false;  
    c = (c % m2 + m2) % m2;  
    m1 /= d;  
    m2 /= d;  
    c /= d;  
    c *= Inv(m1, m2);  
    c %= m2;  
    c *= m1 * d;  
    c += a1;  
    m3 = m1 * m2 * d;  
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;  
    return true;  
}  
  
LL CRT(LL a[], LL m[], int n)  
{  
    LL a1 = a[1];  
    LL m1 = m[1];  
    for(int i=2; i<=n; i++)  
    {  
        LL a2 = a[i];  
        LL m2 = m[i];  
        LL m3, a3;  
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))  
            return -1;  
        a1 = a3;  
        m1 = m3;  
    }  
    return (a1 % m1 + m1) % m1;  
}  
  
int main()  
{  
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
    {  
        for(int i=1; i<=n; i++)  
            scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);  
        LL ans = CRT(a, m, n);  
        printf("%I64d\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}  

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

分析：这个题由于数据范围小，那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数，找到最小的正整

数解，然后后面的所有解都可以通过这个得到。

代码：

[cpp] view plain copy
#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
  
using namespace std;  
const int N = 25;  
  
int a[N], b[N];  
  
int gcd(int a, int b)  
{  
    return b ? gcd(b, a % b) : a;  
}  
  
int main()  
{  
    int T;  
    cin>>T;  
    while(T--)  
    {  
        int n, m;  
        cin>>n>>m;  
        for(int i=0; i<m; i++)  
            cin>>a[i];  
        for(int i=0; i<m; i++)  
            cin>>b[i];  
        int lcm = 1;  
        for(int i=0; i<m; i++)  
            lcm = lcm / gcd(lcm, a[i]) * a[i];  
        bool f = 1;  
        for(int i=1; i<=lcm&&i<=n; i++)  
        {  
            f = 1;  
            for(int j=0; j<m; j++)  
            {  
                if(i % a[j] != b[j])  
                    f = 0;  
            }  
            if(f)  
            {  
                printf("%d\n",(n - i) / lcm + 1);  
                break;  
            }  
        }  
        if(f == 0)  
            printf("0\n");  
    }  
    return 0;  
}  

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0 0