漫游算法 01

前言

我是一名初中oier。在开始写这第一篇文章之前，我其实已经反复考虑很久了。起初我不敢冒然写。一是由于我的编程水平不是特别精湛，没有积累足够的经验；二是我的语文比较弱，写出的文章可能并不精彩，甚至难以理解。
但是我最终决定开始博客生涯，因为我相信写文章是每个oier都不得不经历的。写文章不仅仅可以帮助其他人，还能提高自身的编程以及语文水平。希望我能通过写文章，分享自己现有的经验，同时通过他人的评价得到一些新的感悟。

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引入

想要漫游算法，首先，要对算法有正确的认识。
算法，你绝对不会陌生，本质上它就是解决问题所用的方法。同一个问题，自然会有多种不同的算法。那么，我们先从一个经典的算式引入算法的概念，同时将算法推广到编程。

小学低年级的你我，碰到这题，第一反应也许是惊诧，若硬是要算出答案，只好在草稿纸上手动一个一个加起来，结果半天时间，竖式列满了整页草稿纸，终于计算出了正确的答案。
到了高年级，才发现当时自己的方法是如此死板！根据加法交换和结合律，可以合并 1 和 100 为一个 101，2 和 99 刚好也可以合并成一个 101，3 和 98，4 和 97，以此类推……最终推算出相邻的 50 和 51 可以合并成最后一个 101，1 到 50 有 50 个整数，也就是合并了 50 个 101，50 乘 101 等于 5050，所以原算式的答案就是 5050，问题完美解决……
想当年数学王子高斯，发现了这种方法，方才受到重视。由此可见，算法作为解决问题的方法，是百变莫测、满具魅力的。

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算法性质

若我们将上面经典的算式交给一位幼儿园的小盆友计算，他认识数字却不会任何加法，于是始终得不到答案，这也属于一种算法吗？
不，算法拥有一条很重要的性质。任何算法允许没有指定的前提，但必须要有肯定而正确的结果。不论多么绞尽脑汁，没有正确的答案，这解题方法就不属于正确的算法。
当然，有时候我们将问题复杂化，得到正确但费时的算法。例如，还是那个算式，我们使用以下的算法：找遍整个式子，统计式子里有多少个 1，很显然只有 1 个，所以心中的答案加上 1；继续找遍整个式子，统计式子里有多少个 2，仍然只有 1 个，所以心中的答案再加上 2……直到被统计的数到 100 为止。上面的算法，可以得到正确答案 5050，但比直接一个一个加起来这种算法还要慢。
因此，即使同一个问题有多种算法，但每种算法毕竟存在自身的优劣性，需要我们的探寻与选择。

复杂度

现在我们将算法的概念推广到编程中。这时，我们引入“复杂度”来评价算法的优劣。编程中，它一般分为“时间复杂度”和“空间复杂度”。要知道，即使是计算机，运算速度极快，也有自己的限度。时间复杂度特别大的算法，代入程序运行也需要一段时间。同时，空间复杂度也不能过大，计算机的存储空间大但依然是有限的。解一道题，使用的算法，时间复杂度和空间复杂度都尽量要保持在一个限度内。
复杂度使用 Θ(...) 来表示，通常简写为 O(...)。括号内一般填写代数式，若代数式内有变量，则复杂度会随着变量的变化而变化，此时常数项通常省略。例如 O(m2+n log n)，其中 log 一般表示底数为 2 的对数运算。有时，复杂度仅会保留一个次数最高的项。若没有变量，整个复杂度都仅仅是常数，一般表示为 O(1)。
下面，我们再使用一个式子作为例子。

如果我们要设计一个程序，实现：输入正整数 n（可能很大），输出该算式的结果。
最容易想到的算法，即使用单层循环从 1 到 n 统计入一个总和变量。考虑到使用了一个循环，如果 n 很大，循环次数也会跟着很大。因此时间复杂度不难看出是 O(n)。至于空间复杂度，整个过程都无需使用数组，仅需要少量的变量即可完成，所以空间复杂度为常数复杂度，即 O(1)。
更加优秀的算法，即高斯的思想，只需要分析后码上一些式子就同样能求出正解，连循环都不需要，时空复杂度皆为 O(1)。
更加费时的算法，上面也讲到过了。枚举要找的数，再找遍整个式子，统计，加入答案。枚举就要一层循环，找遍整个式子更不用说了。时间复杂度是 O(n2)，空间复杂度看情况而定。
如果 n=100，似乎三个算法复杂度的差异并不大，跑得都比较快。然而当 n=109 呢？此时差距将异常明显，算法的优劣性也得以展现。解决一道编程问题，我们应该学会估算时空复杂度。

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结言

人是活的，算法也是活的。算法的路永远也走不完，所以在学习算法的同时，我们也应探寻更加优秀的算法。