bzoj1058 [ZJOI2007]报表统计

Description

　　小Q的妈妈是一个出纳，经常需要做一些统计报表的工作。今天是妈妈的生日，小Q希望可以帮妈妈分担一些工作，作为她的生日礼物之一。经过仔细观察，小Q发现统计一张报表实际上是维护一个可能为负数的整数数列，并且进行一些查询操作。在最开始的时候，有一个长度为N的整数序列，并且有以下三种操作： INSERT i k 在原数列的第i个元素后面添加一个新元素k； 如果原数列的第i个元素已经添加了若干元素，则添加在这些元素的最后（见下面的例子） MIN_GAP 查询相邻两个元素的之间差值（绝对值）的最小值 MIN_SORT_GAP 查询所有元素中最接近的两个元素的差值（绝对值） 例如一开始的序列为 5 3 1 执行操作INSERT 2 9将得到： 5 3 9 1 此时MIN_GAP为2，MIN_SORT_GAP为2。 再执行操作INSERT 2 6将得到： 5 3 9 6 1 注意这个时候原序列的第2个元素后面已经添加了一个9，此时添加的6应加在9的后面。这个时候MIN_GAP为2，MIN_SORT_GAP为1。于是小Q写了一个程序，使得程序可以自动完成这些操作，但是他发现对于一些大的报表他的程序运行得很慢，你能帮助他改进程序么？

Input

　　第一行包含两个整数N，M，分别表示原数列的长度以及操作的次数。第二行为N个整数，为初始序列。接下来的M行每行一个操作，即“INSERT i k”，“MIN_GAP”，“MIN_SORT_GAP”中的一种（无多余空格或者空行）。

Output

　　对于每一个“MIN_GAP”和“MIN_SORT_GAP”命令，输出一行答案即可。

Sample Input

3 5
5 3 1
INSERT 2 9
MIN_SORT_GAP
INSERT 2 6
MIN_GAP
MIN_SORT_GAP

Sample Output

2
2
1

HINT

N , M ≤500000 对于所有的数据，序列内的整数不超过5*10^8。

Source

[Submit][Status][Discuss]

分析：
这题有两种询问：
1.询问相邻两个数的差值的最小值
2.询问排序后相邻两个数的差值的最小值

这道题比较简单的一点就是，我们的询问都是整个队列的信息，所以我们就可以整个队列一起考虑

这道题涉及到了两种数据结构：
splay和树状数组

我们先看插入操作：

• 我们为了方便插入，需要在最开始的时候设置一个前驱和后继

• 在具体插入的过程中，我们需要记录一下每个结点插入了多少元素
  每次插入元素的时候（比如说在第x位置插入y元素），
  我们需要找到1~x位置都插入了多少元素，简单来说就是需要快速计算插入结点数的前缀和，最简单的数据结构就是树状数组

• 在第x处插入z的时候，我们找到在该元素前的元素个数
  因为所有结点中包含一个前驱，所以我们在splay的时候需要把 （pos+1） splay到根上（包括一个前驱+所有在ta之前的结点数）

void insert(int x,int z){    int pos=getsum(x);       //该元素前的元素个数    splay(get_kth(pos+1),0);    splay(get_kth(pos+2),root);    int now=++top;    pre[now]=ch[root][1]; ch[ch[root][1]][0]=top;    key[now]=z;    rval[now]=lval[now]=z;                minv[now]=INF;                       sz[now]=1;    update(ch[root][1]);    update(root);    push(z); }

询问一：

这个询问我们用splay维护：
精髓就在于update

void update(int bh){    if (!bh) return;    sz[bh]=sz[ch[bh][0]]+sz[ch[bh][1]]+1;    lval[bh]=lval[ch[bh][0]];    rval[bh]=rval[ch[bh][1]];    minv[bh]=INF;    if (ch[bh][0]&&ch[bh][0]!=1&&ch[bh][0]!=2)    {        minv[bh]=min(abs(key[bh]-rval[ch[bh][0]]),minv[ch[bh][0]]);        lval[bh]=lval[ch[bh][0]];    }    else lval[bh]=key[bh];    if (ch[bh][1]&&ch[bh][1]!=1&&ch[bh][1]!=2)    {        minv[bh]=min(minv[bh],min(abs(key[bh]-lval[ch[bh][1]]),minv[ch[bh][1]]));          rval[bh]=rval[ch[bh][1]];      }    else rval[bh]=key[bh];}

lval：维护该结点前驱的最大值
rval：维护该结点后继的最小值
minv：整个序列的相邻元素最小差值

询问二：

我们用set维护整个序列排序后的最小差值

void push(int z){    if (min_sort_gap==0) return;    set<int>::iterator num;      num=S.lower_bound(z);    if (num!=S.end())        if (abs(*num-z)<min_sort_gap)           min_sort_gap=abs(*num-z);    if (num!=S.begin())    {        num--;        if (abs(*num-z)<min_sort_gap)            min_sort_gap=abs(*num-z);    }    S.insert(z);}

tip

练码力

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>#include<set>using namespace std;const int N=1000010;const int INF=1e9;int n,m,min_sort_gap;int rval[N],lval[N],tree[N];  //tree是树状数组 int minv[N],sz[N],pre[N],ch[N][2],cnt[N],a[N],root,key[N];int top;struct node{    int x,y,sum;};node t[N<<2];set<int> S;int get(int bh){    return ch[pre[bh]][0]==bh? 0:1;}int getsum(int x)     //前缀和 {    int sum=0;    for (int i=x;i>0;i-=(i&(-i)))        sum+=tree[x];    return sum;}void add(int x,int val){    for (int i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))        tree[x]+=val;}void update(int bh){    if (!bh) return;    sz[bh]=sz[ch[bh][0]]+sz[ch[bh][1]]+1;    lval[bh]=lval[ch[bh][0]];    rval[bh]=rval[ch[bh][1]];    minv[bh]=INF;    if (ch[bh][0]&&ch[bh][0]!=1&&ch[bh][0]!=2)       //1是所有序列前驱，2是所有序列后继     {        minv[bh]=min(abs(key[bh]-rval[ch[bh][0]]),minv[ch[bh][0]]);        lval[bh]=lval[ch[bh][0]];    }    else lval[bh]=key[bh];    if (ch[bh][1]&&ch[bh][1]!=1&&ch[bh][1]!=2)    {        minv[bh]=min(minv[bh],min(abs(key[bh]-lval[ch[bh][1]]),minv[ch[bh][1]]));          rval[bh]=rval[ch[bh][1]];      }    else rval[bh]=key[bh];}void push(int z){    if (min_sort_gap==0) return;    set<int>::iterator num;      num=S.lower_bound(z);    if (num!=S.end())        if (abs(*num-z)<min_sort_gap)           min_sort_gap=abs(*num-z);    if (num!=S.begin())    {        num--;        if (abs(*num-z)<min_sort_gap)            min_sort_gap=abs(*num-z);    }    S.insert(z);}void rotate(int bh){    int fa=pre[bh];    int grand=pre[fa];    int wh=get(bh);    ch[fa][wh]=ch[bh][wh^1];    pre[ch[fa][wh]]=fa;    ch[bh][wh^1]=fa;    pre[fa]=bh;    pre[bh]=grand;    if (grand) ch[grand][ch[grand][0]==fa? 0:1]=bh;    update(fa);    update(bh);}void splay(int bh,int mb){    for (int fa;(fa=pre[bh])!=mb;rotate(bh))        if (pre[fa]!=mb)            rotate(get(bh)==get(fa)? fa:bh);    if (!mb) root=bh;}int get_kth(int k)                 //排名 {    int now=root;    while (1)    {        if (sz[ch[now][0]]>=k) now=ch[now][0];        else        {            int tmp=(ch[now][0]? sz[ch[now][0]]:0);            tmp++;            if (tmp>=k) return now;            k-=tmp;            now=ch[now][1];        }    }}void insert(int x,int z){    int pos=getsum(x);    splay(get_kth(pos+1),0);    splay(get_kth(pos+2),root);    int now=++top;    pre[now]=ch[root][1]; ch[now][0]=ch[now][1]=0; ch[ch[root][1]][0]=top;    key[now]=z;    rval[now]=lval[now]=z;                minv[now]=INF;                       sz[now]=1;    update(ch[root][1]);    update(root);    push(z); }int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);     S.clear();    memset(tree,0,sizeof(tree));     //树状数组     min_sort_gap=INF;    root=top=0;    ch[root][0]=ch[root][1]=pre[root]=minv[root]=sz[root]=0;    //前驱     int now=++top; root=top;    pre[now]=ch[now][0]=ch[now][1]=0;    key[now]=-1;    rval[now]=lval[now]=-1;                minv[now]=INF;                       sz[now]=1;    //后继    now=++top;     pre[now]=root; ch[now][0]=ch[now][1]=0;    ch[root][1]=top;    key[now]=-1;    rval[now]=lval[now]=-1;                minv[now]=INF;                       sz[now]=1;     update(ch[root][1]);    update(root);    for (int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);        insert(i,a[i]);              //在第i个位置插入a[i]         add(i,1);                    //第i个位置插入了多少元素     }    char s[20];    for (int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%s",s);        int x,y,z;        if (s[0]=='I')        {            scanf("%d%d",&x,&y);            insert(x,y);            add(x,1);        }        else if (s[4]=='S')            printf("%d\n",min_sort_gap);        else printf("%d\n",minv[root]);    }    return 0;}