bzoj1058 [ZJOI2007]报表统计
来源:互联网 发布:淘宝透明下拉栏 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 08:06
Description
小Q的妈妈是一个出纳,经常需要做一些统计报表的工作。今天是妈妈的生日,小Q希望可以帮妈妈分担一些工作,作为她的生日礼物之一。经过仔细观察,小Q发现统计一张报表实际上是维护一个可能为负数的整数数列,并且进行一些查询操作。在最开始的时候,有一个长度为N的整数序列,并且有以下三种操作: INSERT i k 在原数列的第i个元素后面添加一个新元素k; 如果原数列的第i个元素已经添加了若干元素,则添加在这些元素的最后(见下面的例子) MIN_GAP 查询相邻两个元素的之间差值(绝对值)的最小值 MIN_SORT_GAP 查询所有元素中最接近的两个元素的差值(绝对值) 例如一开始的序列为 5 3 1 执行操作INSERT 2 9将得到: 5 3 9 1 此时MIN_GAP为2,MIN_SORT_GAP为2。 再执行操作INSERT 2 6将得到: 5 3 9 6 1 注意这个时候原序列的第2个元素后面已经添加了一个9,此时添加的6应加在9的后面。这个时候MIN_GAP为2,MIN_SORT_GAP为1。于是小Q写了一个程序,使得程序可以自动完成这些操作,但是他发现对于一些大的报表他的程序运行得很慢,你能帮助他改进程序么?
Input
第一行包含两个整数N,M,分别表示原数列的长度以及操作的次数。第二行为N个整数,为初始序列。接下来的M行每行一个操作,即“INSERT i k”,“MIN_GAP”,“MIN_SORT_GAP”中的一种(无多余空格或者空行)。
Output
对于每一个“MIN_GAP”和“MIN_SORT_GAP”命令,输出一行答案即可。
Sample Input
3 5
5 3 1
INSERT 2 9
MIN_SORT_GAP
INSERT 2 6
MIN_GAP
MIN_SORT_GAP
5 3 1
INSERT 2 9
MIN_SORT_GAP
INSERT 2 6
MIN_GAP
MIN_SORT_GAP
Sample Output
2
2
1
2
1
HINT
N , M ≤500000 对于所有的数据,序列内的整数不超过5*10^8。
Source
分析:
这题有两种询问:
1.询问相邻两个数的差值的最小值
2.询问排序后相邻两个数的差值的最小值
这道题比较简单的一点就是,我们的询问都是整个队列的信息,所以我们就可以整个队列一起考虑
这道题涉及到了两种数据结构:
splay和树状数组
我们先看插入操作:
我们为了方便插入,需要在最开始的时候设置一个前驱和后继
在具体插入的过程中,我们需要记录一下每个结点插入了多少元素
每次插入元素的时候(比如说在第x位置插入y元素),
我们需要找到1~x位置都插入了多少元素,简单来说就是需要快速计算插入结点数的前缀和,最简单的数据结构就是树状数组在第x处插入z的时候,我们找到在该元素前的元素个数
因为所有结点中包含一个前驱,所以我们在splay的时候需要把 (pos+1) splay到根上(包括一个前驱+所有在ta之前的结点数)
void insert(int x,int z){ int pos=getsum(x); //该元素前的元素个数 splay(get_kth(pos+1),0); splay(get_kth(pos+2),root); int now=++top; pre[now]=ch[root][1]; ch[ch[root][1]][0]=top; key[now]=z; rval[now]=lval[now]=z; minv[now]=INF; sz[now]=1; update(ch[root][1]); update(root); push(z); }
询问一:
这个询问我们用splay维护:
精髓就在于update
void update(int bh){ if (!bh) return; sz[bh]=sz[ch[bh][0]]+sz[ch[bh][1]]+1; lval[bh]=lval[ch[bh][0]]; rval[bh]=rval[ch[bh][1]]; minv[bh]=INF; if (ch[bh][0]&&ch[bh][0]!=1&&ch[bh][0]!=2) { minv[bh]=min(abs(key[bh]-rval[ch[bh][0]]),minv[ch[bh][0]]); lval[bh]=lval[ch[bh][0]]; } else lval[bh]=key[bh]; if (ch[bh][1]&&ch[bh][1]!=1&&ch[bh][1]!=2) { minv[bh]=min(minv[bh],min(abs(key[bh]-lval[ch[bh][1]]),minv[ch[bh][1]])); rval[bh]=rval[ch[bh][1]]; } else rval[bh]=key[bh];}
lval:维护该结点前驱的最大值
rval:维护该结点后继的最小值
minv:整个序列的相邻元素最小差值
询问二:
我们用set维护整个序列排序后的最小差值
void push(int z){ if (min_sort_gap==0) return; set<int>::iterator num; num=S.lower_bound(z); if (num!=S.end()) if (abs(*num-z)<min_sort_gap) min_sort_gap=abs(*num-z); if (num!=S.begin()) { num--; if (abs(*num-z)<min_sort_gap) min_sort_gap=abs(*num-z); } S.insert(z);}
tip
练码力
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>#include<set>using namespace std;const int N=1000010;const int INF=1e9;int n,m,min_sort_gap;int rval[N],lval[N],tree[N]; //tree是树状数组 int minv[N],sz[N],pre[N],ch[N][2],cnt[N],a[N],root,key[N];int top;struct node{ int x,y,sum;};node t[N<<2];set<int> S;int get(int bh){ return ch[pre[bh]][0]==bh? 0:1;}int getsum(int x) //前缀和 { int sum=0; for (int i=x;i>0;i-=(i&(-i))) sum+=tree[x]; return sum;}void add(int x,int val){ for (int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) tree[x]+=val;}void update(int bh){ if (!bh) return; sz[bh]=sz[ch[bh][0]]+sz[ch[bh][1]]+1; lval[bh]=lval[ch[bh][0]]; rval[bh]=rval[ch[bh][1]]; minv[bh]=INF; if (ch[bh][0]&&ch[bh][0]!=1&&ch[bh][0]!=2) //1是所有序列前驱,2是所有序列后继 { minv[bh]=min(abs(key[bh]-rval[ch[bh][0]]),minv[ch[bh][0]]); lval[bh]=lval[ch[bh][0]]; } else lval[bh]=key[bh]; if (ch[bh][1]&&ch[bh][1]!=1&&ch[bh][1]!=2) { minv[bh]=min(minv[bh],min(abs(key[bh]-lval[ch[bh][1]]),minv[ch[bh][1]])); rval[bh]=rval[ch[bh][1]]; } else rval[bh]=key[bh];}void push(int z){ if (min_sort_gap==0) return; set<int>::iterator num; num=S.lower_bound(z); if (num!=S.end()) if (abs(*num-z)<min_sort_gap) min_sort_gap=abs(*num-z); if (num!=S.begin()) { num--; if (abs(*num-z)<min_sort_gap) min_sort_gap=abs(*num-z); } S.insert(z);}void rotate(int bh){ int fa=pre[bh]; int grand=pre[fa]; int wh=get(bh); ch[fa][wh]=ch[bh][wh^1]; pre[ch[fa][wh]]=fa; ch[bh][wh^1]=fa; pre[fa]=bh; pre[bh]=grand; if (grand) ch[grand][ch[grand][0]==fa? 0:1]=bh; update(fa); update(bh);}void splay(int bh,int mb){ for (int fa;(fa=pre[bh])!=mb;rotate(bh)) if (pre[fa]!=mb) rotate(get(bh)==get(fa)? fa:bh); if (!mb) root=bh;}int get_kth(int k) //排名 { int now=root; while (1) { if (sz[ch[now][0]]>=k) now=ch[now][0]; else { int tmp=(ch[now][0]? sz[ch[now][0]]:0); tmp++; if (tmp>=k) return now; k-=tmp; now=ch[now][1]; } }}void insert(int x,int z){ int pos=getsum(x); splay(get_kth(pos+1),0); splay(get_kth(pos+2),root); int now=++top; pre[now]=ch[root][1]; ch[now][0]=ch[now][1]=0; ch[ch[root][1]][0]=top; key[now]=z; rval[now]=lval[now]=z; minv[now]=INF; sz[now]=1; update(ch[root][1]); update(root); push(z); }int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); S.clear(); memset(tree,0,sizeof(tree)); //树状数组 min_sort_gap=INF; root=top=0; ch[root][0]=ch[root][1]=pre[root]=minv[root]=sz[root]=0; //前驱 int now=++top; root=top; pre[now]=ch[now][0]=ch[now][1]=0; key[now]=-1; rval[now]=lval[now]=-1; minv[now]=INF; sz[now]=1; //后继 now=++top; pre[now]=root; ch[now][0]=ch[now][1]=0; ch[root][1]=top; key[now]=-1; rval[now]=lval[now]=-1; minv[now]=INF; sz[now]=1; update(ch[root][1]); update(root); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); insert(i,a[i]); //在第i个位置插入a[i] add(i,1); //第i个位置插入了多少元素 } char s[20]; for (int i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",s); int x,y,z; if (s[0]=='I') { scanf("%d%d",&x,&y); insert(x,y); add(x,1); } else if (s[4]=='S') printf("%d\n",min_sort_gap); else printf("%d\n",minv[root]); } return 0;}
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