最坏情况线性时间选择O(n)

来源：互联网发布：ims注册成功率优化编辑：程序博客网时间：2024/05/22 14:01

【题目】：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序的）

【思路】：如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。
例如：若ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。

【具体解题】：这里我们将所有的数（n个），以每5个划分为一组，共[n/5]组（将不足五个的那组忽略）；然后用任意一种排序算法（因为只对五个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了，这里我选用冒泡排序），将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到[n/5]个中位数；再取这[n/5]个中位数的中位数（如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个）作为划分基准，将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。
在这种情况下，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，中位数处于1/2*[n/5-1]，即n/5个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x。同理，基准x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。
程序代码如下：

#include<iostream.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define MAX_VALUE 10000
#define random() rand()%MAX_VALUE
#define N 10000
int a[N];
class Find
{
public:
       void bubble(int first,int end) //冒泡排序
       {
for(int flag=first;flag<end;flag++)
                     for(int i=end;i>flag;i--)
                            if(a[i]<a[i-1])
                            {     int t=a[i];
                                   a[i]=a[i-1];
                                   a[i-1]=t;
                            }
       }
       int partition(int p,int r,int x) //数组a中从a[p]到a[r]的元素按照x划分,大于x的在左边,小于x的在右边
       {
int i,j;
              for(i=p,j=r;i<j;i++)
              {
if(a[i]>x)
                     {
while(i<j&&a[j]>x)
                                   j--;
                            if(i!=j){
                                   int t=a[i];
                                   a[i]=a[j];
                                   a[j]=t;
                                   j--;
                            }
                     }
              }
              return i-1;
       }
       int select(int p,int r,int k)   //寻找中位数
       {
              if(r-p<5){
                     bubble(p,r);
                     return a[p+k-1];
              }
              for(int i=0;i<(r-p-4)/5;i++)
              {
                     int s=p+5*i,t=s+4;
                     bubble(s,t);
                     int temp=a[p+i];
                     a[p+i]=a[s+2];
                     a[s+2]=temp;
              }
              int x=select(p,p+(r-p-4)/5,(r-p+6)/10);
              i=partition(p,r,x);
              int j=i-p+1;
              if(k<=j)
                     return select(p,i,k);
              else
                     return select(i+1,r,k-j);
       }
};
void main()
{
       clock_t   start,end;
       double   elapsed;
       srand((int)time(NULL));
       for(int k=0;k<N;k++)
       {
              a[k]=random();
              cout<<a[k]<<"/t";
       }
       cout<<endl;
       start=clock();
       Find f;
       int n=5000;
       cout<<"The No."<<n<<" is :"<<f.select(0,N-1,n)<<endl;
       end=clock();
       elapsed=((double)(end-start));///CLOCKS_PER_SEC;
       cout<<"Time: "<<elapsed<<endl;
}

这个题目关键在寻找划分基准，从而提高寻找效率，时间复杂度为o(n);
本文固定链接为：http://www.hinn.cn/2008/04/randomizedselect.html