【多项式】多项式逆元/开方

逆元

已知多项式F(x)，求F(x)在保留前n项（当然n要是2的次幂）的情况下的逆元G(x)，也就是：

F(x)G(x)≡1(modxn)

首先，如果n=1，那么直接就是常数项的逆元，

如果n>1，那么怎么办？
设：G′(x)使得F(x)G′(x)≡1(modxn/2)，且我们已知G′(x)
第一个式子可以变成：

F(x)G(x)≡1(modxn/2)

（把模数开了个方，依旧成立）
把两个式子相减：

F(x)(G(x)−G′(x))≡0(modxn/2)

G(x)−G′(x)≡0(modxn/2)

同时平方：（当然模数也平方依旧成立）

(G(x)−G′(x))2≡0(modxn)

G2(x)+G′2(x)−2G(x)G′(x)≡0(modxn)

两边同时乘上F(x)，消掉部分G(x)：

G(x)+G′2(x)F(x)−2G′(x)≡0(modxn)

G(x)≡2G′(x)−G′2(x)F(x)(modxn)

那么，G(x)就可以快速求出了，
（同时发现，只要常数项有逆元，这个多项式就有逆元）
复杂度：T(n)=T(n/2)+O(nlog(n))=O(nlog(n))

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开方

多项式的开方同样可以以这种方法做出来，

已知多项式F(x)，求F(x)在保留前n项（当然n要是2的次幂）的情况下的平方根G(x)，也就是：

G2(x)≡F(x)(modxn)

首先，如果n=1，那么直接就是常数项的开方，可以暴力枚举，也可以用二次项剩余（CZY的二次剩余Cipolla算法学习小记），

对于n>1的情况，
设：G′(x)使得G′(x)2≡F(x)(modxn/2)，且我们已知G′(x)，
（把平方写在后面好看QuQ）

第一个式子可以变成：

G2(x)≡F(x)(modxn/2)

（把模数开了个方，依旧成立）
把两个式子相减：

G2(x)−G′(x)2≡0(modxn/2)

因式分解：

(G(x)+G′(x))(G(x)−G′(x))≡0(modxn/2)

可得G(x)有两个解（平方嘛），讨论G(x)−G′(x)≡0(modxn/2)的情况，

G(x)−G′(x)≡0(modxn/2)

（历史总是惊人的相识）
同时平方：（当然模数也平方依旧成立）

(G(x)−G′(x))2≡0(modxn)

G2(x)+G′(x)2−2G(x)G′(x)≡0(modxn)

因为：G2(x)≡F(x)(modxn)

F(x)+G′(x)2−2G(x)G′(x)≡0(modxn)

G(x)≡F(x)+G′(x)22G′(x)(modxn)

那么，G(x)就可以快速求出了，
（同时发现，只要常数项是二次项剩余且有逆元，这个多项式就可以开方）
复杂度：T(n)=T(n/2)+2∗O(nlog(n))=O(nlog(n))
（这个的常数可就大多了）