学习总结5

2017-12-08 DP学习

本次学习内容主要有树形DP，状压DP，概率DP和数位DP。

树形DP例题

codeforces 219 D Choosing Capital for Treeland

给出N个点，其中有N-1条有向边，边的方向可以改变，问最少改变多少条边可以从某一个点到达任意一个点，同时求出这些点。直接求是O(n2)的，需要优化。注意到一个节点的答案已知的情况下，任意与其直接有边相连的结点答案都可以O(1)求出。于是可以先通过一遍DFS求出一个点的答案，再通过一遍DFS求出所有点的答案。

poj 3107 Godfather

给一颗n个结点的树，节点编号为1~n，问删除一个节点之后，让剩下的分支中节点数量最多的尽量少。求树的重心模板题。

HDU 4980 A simple graph problem.

有一颗n个节点的树，每条边有边权。现在你要在这些节点让放一些队员，让队员访问完全部的边。放置一个队员的代价是K，一个队员经过一条边需要付出边权的代价。并且一个队员不能经过同一条边两次。问最小代价是多少。记dp[i][j]表示i这个节点的子树的边全部访问完全，并且有j个队员的终点在i点（即还可以再往上走）。注意发现每个节点往上的路径不会超过2条（不然就可以省掉一个队员），所以j的范围是[0,2]。转移不难推出。

数位DP例题

poj 3252 Round Numbers

算出区间内二进制中0的个数大于等于1的个数的数字有多少个。就是一个二进制的数位DP。用数位DP的套路，f[l][one][zero][flag] 表示还剩l位数，前面有one个1，zero个0，并且是否顶上界。转移时直接枚举当前位取0还是1。

HDU 4734 F(x)

定义f(x)=∑ni=1(ai∗2i−1)，ai表示十进制数x中第i位的数字。给出a，b，求出∑bi=0[f(i)≤f(a)]。dp[l][res]表示有l位，并且还剩下res的f值供我们选择。直接枚举下一位转移。

Codeforces 55D Beautiful numbers

求一个区间内的Beautiful numbers有多少个。Beautiful numbers指：一个数能整除所有组成它的非0数字。例如15可以被1和5整除，所以15是Beautiful numbers。比较朴素的想法是令f[len][num][lcm][flag] 表示长度为len位，当前位的数对2520取余后的值为num，截止当前位的所有数码的最小公倍数为lcm的数的个数。flag表示当前数是否顶住上界。但这样做数组是开不下的。注意到1到9的最小公倍数为2520，它仅有48个因数，所以lcm这一维可以离散化，这样就解决了这个问题。

计蒜客 阿里云秘钥池

求1到n之间，在p进制下，每位两两互素的数的个数。n<=1e18，p<=1e5。记f[i][j]表示p进制下长度为i，最高位为j的数的个数，那么易知f[i][j]=∑p−1k=1([gcd(j,k)=1]∗f[i−1][k])。使用莫比乌斯反演，得f[i][j]=∑d|j(μ(d)∑1≤k<p,d|kf[i−1][k])。而后按位枚举并统计答案。

状压DP例题

CodeForces 453B Little Pony and Harmony Chest

给出一个序列a，求取一个序列b，b序列的数两两互质，问能够导致∑|ai−bi|最小的方案。其中ai<=30，序列长度小于100。时限4秒。定义f[i][j]表示前i个数达到j状态的最小的结果，j状态表示已经被用过的质数。因为ai不超过30，所以如果选一个超过60的数一定不会比1优，所以可能存在于最优解中的数的质因子一定不会超过60。而60以内的质数共有17个，状压即可。

CDOJ 1296 A Graph Problem

有n个城市和m条双向路，有k个人，每个人选了两个不同的城市。现在让你尽可能多的删除边，是的这k个人每个人都可以从选的两个之间移动。此题思维难度较大。令dp[i]表示，这些点连在一起的时候，最少需要多少边。dp1[i]表示，这些点连在一起的时候，可以有其他的点也并入，最少需要多少边。通过k个城市对，可以分成一些联通的集合。dp2[i]表示，这些集合对应的点连在一起的时候，最少需要多少边。dp3[i]表示，这些集合可以相互不连通的时候，最少需要多少边。使用压位的方法枚举子集，依次递推。

poj 1753 Flip Game

给一个4∗4的黑白棋盘，当把一个格子的颜色反转时，其上下左右的格子的颜色也被反转，问至少反转几次可以使4∗4的正方形变为纯白或者纯黑。直接枚举第一行，检验最后一行是否满足即可。

CDOJ214 Lights

有N（N<35）盏灯，每盏灯有开和关两种状态，每个灯有一个开关，用来改变对应灯的状态。灯之间有M（M<=595）个链接，若两灯相连，它们的状态会同时改变。问至少按多少个开关，才能使所有灯亮（保证至少存在一种方案使所有灯亮）。

概率DP例题

HDU 4405 Aeroplane chess

在一条有n个格点的线上掷骰子，有1-6六个值，如果当前位置不小于n，则胜利，有m个跳跃点，到x位置可以直接飞到y位置(x < y)，问从起点开始到终点掷骰子的期望数。概率DP入门题目，状态定义与转移不难想到，只需特殊处理跳跃点即可。

Codeforces 148D Bag of mice

原来袋子里有w只白鼠和b只黑鼠 ，龙和王妃轮流从袋子里抓老鼠。谁先抓到白色老鼠谁就赢。王妃每次抓一只老鼠，龙每次抓完一只老鼠之后会有一只老鼠跑出来。每次抓老鼠和跑出来的老鼠都是随机的。如果两个人都没有抓到白色老鼠则龙赢。王妃先抓，问王妃赢的概率。 分四种情况转移：王妃抓到白鼠，王妃赢；王妃抓到黑鼠，龙抓到白鼠，龙赢；王妃和龙都抓到黑鼠，逃掉一只白鼠；王妃和龙都抓到黑鼠，逃掉一只黑鼠。

SGU 385 Highlander

随机给出 1，2，。。。，n 个数字的一个排列 i1，i2，…in，对应了一张有向图 G = (V, E)，其中 V={1, 2, …, n}，E={(1, i1), (2, i2), …, (n, in)}。问在最长环上的顶点数的期望值。 2 ≤ n ≤ 100。
一道好题。记f[i][j][k]表示排列中 i 个数字已经确定，最长环为 j，且有 k 个长度为 j 的环的方案数，g[i][j]=∑⌊ij⌋k=1f[i][j][k]
答案为

∑nj=2∑nk=1j∗k∗f[n][j][k]∑nj=2∑nk=1f[n][j][k]

状态转移方程如下。

f[i][j][k]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ainif[i−j][j][k−1]∑l=2min(j,i−j+1)g[i−j][l]∗Ajn−i+jj0(i=j,i>1,k=1)(2≤j≤i−2,1<k<⌊ij⌋)(2≤j≤i−2,k=1)(Otherwise)

bzoj3317 First Knight

一个m×n的棋盘，左上至右下编号为(1, 1)至(m, n)，并给定每个格子到周围四个格子的概率。一个骑士从(1, 1)开始，按照给定概率走，问到达(m, n)的期望步数。题目保证从任一格开始到(m, n)的概率均为1 。1≤m,n≤40，多组数据。此题的递推存在环，如果列出方程直接求解期望，时间上无法承受。但是通过观察发现每次消元最多消去2n个，所以复杂度降为O（n^3*m），可以通过。

总结

DP题目比较灵活，但其重中之重还是在于正确地推导状态定义与转移方程，剩下的都是套路了。DP也是一类需要多练习的题目，一定要多写多练。