GANs学习（GAN、wGAN）

原始GAN

GANs (Generative Adversarial Networks) [1]是2014年 Goodfellow 提出的，一种zero-sum博弈过程：生成器[generator] 和判别器[discriminator]之间的此消彼长

D和G play a two-player minimax game:

minGmaxDV(D,G)=Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ez∼pz(z)[log(1−D(G(z)))]

上式可以看出，判别器尽可能将来自真实数据的样本判别为1，将来自生成器的样本判别为0，即：尽可能的从生成数据中区分出真实的数据；生成器，最小化log(1−D(G(z))，也就是说最小化生成数据和真实数据的样本，也可以理解为最大化log(D(G(z))，最大化判别器犯错误的概率。生成器相当于对输入noise进行非线性变换（Noise或者先验一般是 均匀分布或正太分布）

训练时，交替更新Discriminator 和 Generator。论文中的伪代码：

生成器函数采用最小化log(1−D(G(z))，当判别器训练好的时候，生成器函数梯度几乎为0；因而，原文中作者提出使用最大化log(D(G(z))。

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Global Optimality pdata=pg

• G fixed, optimal discriminator D :
  
  V(G,D)=∫xpdata(x)log(D(x))dx+∫zpz(z)log(1−D(G(z)))dz=∫xpdata(x)log(D(x))+pg(x)log(1−D(x))dx
  
  两边求导，可得最优的Discriminator D is:
  D∗G(x)=pdata(x)pdata(x)+pg(x)
  Thus
  
  C(G)=Ex∼pdata(x)log(pdata(x)pdata(x)+pg(x))+Ex∼pg(x)log(pg(x)pdata(x)+pg(x))

• D fixed, optimal generator G:
  Theorem 1. The global minimum of the virtual training criterion C(G) is achieved if and only if pg=pdata. At that point, C(G) achieves the value −log 4。
  证明：
  已知 pg=pdata， 那么 D∗G=12。 C(G) = log12+log12=−log4 。C(G)=V(D∗G,D)减去它得到：
  

  C(G)=−log(4)+KL(pdata||pdata+pg2)+KL(pg||pdata+pg2)=−log(4)+2×JSD(pdata||pg)
  
  两个分布之间的Jensen–Shannon 距离总是非负的，且当pdata=pg时JSD为0。因而C(G)的全局最小值为 C∗=−log(4)。

  wGAN

原始GAN存在着训练困难、生成样本缺乏多样性、生成器和判别器loss函数无法指示训练过程等问题，Wasserstein GAN通过简单的改变，实现了巨大的突破。主要改变有以下几点：
1. 判别器最后一层去掉sigmoid（这是由Wasserstein 距离决定的）；
2. 生成器和判别器的loss不取log
3. 每次更新判别器的参数之后，把他们的绝对值限制到不超过一个常数c
4. 不要用基于动量的优化算法（Adam etc.），推荐RMSProp, 简单的SGD也可以
论文中的伪代码：

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Wasserstein距离又叫 Earth-Mover（EM）距离，“推土机”距离。

W(Pr,Pg)=infγ∼∏(Pr,Pg)E(x,y)∼γ[||x−y||]

直观上可以理解为：在γ “路径规划下”，把Pr 这堆”沙土”挪到 Pg “位置”所需要的“消耗”。而W(Pr,Pg) 表示 “最优路径规划”下的“最小消耗”。参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/25071913

Wasserstein距离相比KL散度、JS散度的优势在于，即使两个分布没有重叠，Wasserstein距离任然能够反应他们的远近。

[1] Goodfellow I, Pouget-Abadie J, Mirza M, et al. Generative adversarial nets[C]//Advances in neural information processing systems. 2014: 2672-2680.
[2]Arjovsky M, Chintala S, Bottou L. Wasserstein generative adversarial networks[C]//International Conference on Machine Learning. 2017: 214-223.