用Python实现常见机器学习算法（三）

三、BP神经网络
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py

1、神经网络model

先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）

表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit

为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重

所以可以得到：
隐含层：

输出层，

其中，S型函数，也成为激励函数

可以看出 为3x4的矩阵，为1x4的矩阵

==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）
2、代价函数

假设最后输出的，即代表输出层有K个单元

，

其中，代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）
3、正则化

L–>所有层的个数

–>第l层unit的个数

正则化后的代价函数为

共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码

# 代价函数def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):    length = nn_params.shape[0] # theta的中长度    # 还原theta1和theta2    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)    # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')    m = X.shape[0]    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系    # 映射y    for i in range(num_labels):        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''        Theta1_colCount = Theta1.shape[1]        Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]        Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]    # 正则化向theta^2    term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))    '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))          z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))        a2 = sigmoid(z2)    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))    h  = sigmoid(z3)        '''代价'''        J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m       return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络,记为–>l层第j个单元的误差



没有，因为对于输入没有误差

因为S型函数的倒数为：
所以上面的和可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为：

for i=1-m:-


实现代码：

# 梯度def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):    length = nn_params.shape[0]    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)    m = X.shape[0]    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系        # 映射y    for i in range(num_labels):        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]        Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]        Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]    Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重    Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重    Theta1[:,0] = 0;    Theta2[:,0] = 0;    '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    a2 = sigmoid(z2)    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))    h  = sigmoid(z3)    '''反向传播，delta为误差，'''    delta3 = np.zeros((m,num_labels))    delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))    for i in range(m):        delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]        Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))        delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])        Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))    '''梯度'''    grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m    return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推导过程：

6、梯度检查
检查利用BP求的梯度是否正确

利用导数的定义验证：

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

实现代码：

# 检验梯度是否计算正确# 检验梯度是否计算正确def checkGradient(Lambda = 0):    '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''    input_layer_size = 3    hidden_layer_size = 5    num_labels = 3    m = 5    initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);     initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)    X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)    y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y    y = y.reshape(-1,1)    nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta     '''BP求出梯度'''    grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,                      num_labels, X, y, Lambda)      '''使用数值法计算梯度'''    num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))    step = np.zeros((nn_params.shape[0]))    e = 1e-4    for i in range(nn_params.shape[0]):        step[i] = e        loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,                               num_labels, X, y,                               Lambda)        loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,                               num_labels, X, y,                               Lambda)        num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)        step[i]=0    # 显示两列比较    res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))    print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

实现代码

# 随机初始化权重thetadef randInitializeWeights(L_in,L_out):    W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重    epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5    W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵    return W

8、预测

正向传播预测结果

实现代码

# 预测def predict(Theta1,Theta2,X):    m = X.shape[0]    num_labels = Theta2.shape[0]    #p = np.zeros((m,1))    '''正向传播，预测结果'''    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))    h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))    h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))    h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))    '''    返回h中每一行最大值所在的列号    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）    '''    #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')    p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))      for i in np.arange(1, m):        t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))        p = np.vstack((p,t))    return p 

9、输出结果

梯度检查：
随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度