用Python实现机器学习算法：逻辑回归

逻辑回归

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LogisticRegression

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression.py

代价函数

可以综合起来为： 

 其中： 

为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数

的图像如下，即y=1时： 

可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

同理的图像如下（y=0）：

梯度

同样对代价函数求偏导： 

可以看出与线性回归的偏导数一致

推导过程 

正则化

目的是为了防止过拟合

在代价函数中加上一项

注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化

正则化后的代价：

# 代价函数

def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):

    m = len(y)

    J = 0

    

    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)

    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 

    theta1[0] = 0   

    

    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)

    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程

    return J

正则化后的代价的梯度

# 计算梯度 

def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):

    m = len(y)

    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))

    

    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)

    theta1 = initial_theta.copy()

    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度

    return grad  

S型函数（即）

实现代码

# S型函数

def sigmoid(z):

    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置

    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))     return h 

映射为多项式

因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合

eg:映射为2次方的形式:

实现代码：

# 映射为多项式 

def mapFeature(X1,X2):

    degree = 3;                     # 映射的最高次方

    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）

    '''

    这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2

    '''

    for i in np.arange(1,degree+1): 

        for j in range(i+1):

            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*

            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))

    return out

使用scipy的优化方法

梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数

调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

costFunction是自己实现的一个求代价的函数，

initial_theta表示初始化的值,

fprime指定costFunction的梯度

args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回

result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))     

运行结果

data1决策边界和准确度

data2决策边界和准确度

使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py

导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression 

from sklearn.preprocessing import StandardScaler 

from sklearn.cross_validation import train_test_split 

import numpy as np 

划分训练集和测试集

x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2) 

归一化

scaler = StandardScaler()     

scaler.fit(x_train)     

x_train = scaler.fit_transform(x_train)     

x_test = scaler.fit_transform(x_test) 

逻辑回归  

model = LogisticRegression()     

model.fit(x_train,y_train) 

预测

predict = model.predict(x_test)    

right = sum(predict == y_test)          

predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察     

print predict     

print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))       #计算在测试集上的准确度 

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py

随机显示100个数字

我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下 

灰度图： 

实现代码：

# 显示100个数字

def display_data(imgData):

    sum = 0

    '''

    显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）

    - 初始化一个二维数组

    - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组

    - 显示即可

    '''

    pad = 1

    display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))

    for i in range(10):

        for j in range(10):

            display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行

            sum += 1

            

    plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像

    plt.axis('off')

    plt.show()

OneVsAll

如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了

如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推... 

可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

手写数字识别

共有0-9，10个数字，需要10次分类

由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理

说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0.... 

然后调用梯度下降算法求解theta

实现代码：

# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta    

def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):

    # 初始化变量

    m,n = X.shape

    all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列

    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias

    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系

    initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta

    

    # 映射y

    for i in range(num_labels):

        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

    

    #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    

    

    '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''

    for i in range(num_labels):

        result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法

        all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中

        

    all_theta = np.transpose(all_theta) 

    return all_theta

预测

之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推

实现代码：

# 预测

def predict_oneVsAll(all_theta,X):

    m = X.shape[0]

    num_labels = all_theta.shape[0]

    p = np.zeros((m,1))

    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1

    

    h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

    '''

    返回h中每一行最大值所在的列号

    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）

    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）

    '''

    p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  

    for i in np.arange(1, m):

        t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))

        p = np.vstack((p,t))

    return p

运行结果

10次分类，在训练集上的准确度：

使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py

导入包

from scipy import io as spio 

import numpy as np 

from sklearn import svm 

from sklearn.linear_model import LogisticRegression 

加载数据

data = loadmat_data("data_digits.mat")      

X = data['X']   # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px     

y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)     

y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

 

拟合模型

model = LogisticRegression()     

model.fit(X, y) # 拟合 

预测

predict = model.predict(X) #预测          

print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100) 

输出结果（在训练集上的准确度） 

（未完待续）

作者：lawlite19

来源：

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python#

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