图论之SPFA

First：
在Bellman-ford算法中，每次都要检查所有的边。这个看起来比较浪费，对于边(x,y)，如果上一次dis[x]没有改变，则本次的检查显然是多余的。

Next：
而所谓SPFA，就是在Bellman-ford算法的基础上，对迭代进行了改进。

Then：
我们只要每次都从上次刚被“松驰”过的点x，来看看x能不能松驰其它点即可完成优化。
那么如何实现呢？
SPFA算法中用BFS中的队列来存放刚被“松驰”过的点。由于顶点个数为|V|，队列如果用数组的话显然要用“循环队列”使用空间。
SPFA在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身会再次被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
这一点也是SPFA算法最重要的一个点，也正是这一点让SPFA能够实现求最短路。
上个伪代码：
SP_SPFA(G, s) //求单源s到其它点的最短距离
for i=1 to n do
dis[i] =∞;vis[i] =false; // 初始化每点到s距离,不在队列
dis[s] 0; //将dis[s]设为0
vis[s] =true; count = 1; //s放入队列
head = 0; tail = 0; q[0]=s; //队列头尾指针
while (count>0) do
v = q[head]; //队头节点v
for 每条边(v,i) //与v相连的每一条边
if( dis【v]+len【v][i]小于dis[i]) //不满足三角形性质
dis【i] =dis【v]+len【v][i]; //松驰dis[i]
if (vis[i] = false) //不在队列，则加入队列
vis[i] = true; count+1;
tail+1; q[tail] = i;
vis[v] =false;head+1;count-1; //v出队列

And Then：
上例题：香甜的黄油 洛谷P1828
题目描述
农夫John发现做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。把糖放在一片牧场上，他知道N（1<=N<=500）只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。 农夫John很狡猾。像以前的Pavlov，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。 农夫John知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）

输入格式
第一行: 三个数：奶牛数N，牧场数（2<=P<=800），牧场间道路数C(1<=C<=1450) 第二行到第N+1行: 1到N头奶牛所在的牧场号 第N+2行到第N+C+1行： 每行有三个数：相连的牧场A、B，两牧场间距离（1<=D<=255），当然,连接是双向的

输出格式
一行 输出奶牛必须行走的最小的距离和

样例数据
input

3 4 5
2
3
4
1 2 1
1 3 5
2 3 7
2 4 3
3 4 5
output

8
{说明： 放在4号牧场最优}

数据规模与约定
时间限制：1s1s
空间限制：256MB

上代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;struct my{    int v,y,next;}e[20000];int a[20000],len=0,cow[1000];int n,p,c;void insert(int xx,int yy,int vv){    e[++len].next=a[xx];    a[xx]=len;    e[len].y=yy;    e[len].v=vv;}int dis[10000],vis[10000],q[10000],minn=10000000;void spfa(int st){    memset(dis,10,sizeof(dis));    memset(vis,0,sizeof(vis));    dis[st]=0;    vis[st]=1;    q[1]=st;    int head=0,tail=1;    while(head<tail)    {        int tn=q[++head];        vis[tn]=0;        int te=a[tn];        for(int i=te;i;i=e[i].next)        {            int tmp=e[i].y;            if(dis[tn]+e[i].v<dis[tmp])            {                dis[tmp]=dis[tn]+e[i].v;                if(!vis[tmp])                {                    vis[tmp]=1;                    q[++tail]=tmp;                }            }        }    }    int num=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        num+=dis[cow[i]];    }    if(num<minn) minn=num;}int main(){    cin>>n>>p>>c;    for(int i=1;i<=n;i++)        cin>>cow[i];    int x,y,v;    for(int i=1;i<=c;i++)    {        cin>>x>>y>>v;        insert(x,y,v);        insert(y,x,v);    }    for(int i=1;i<=p;i++)    spfa(i);    cout<<minn;    return 0;}