NOIP2005初赛阅读程序第4题

Problem

给出g(n)递归定义：

g(n)=n|(n<=1)

g(n)=(2002∗g(n−1)+2003∗g(n−2))% 2005

求第2005项，要求笔算.

Solution

• 用求斐波那契通项公式的一种“配比系数”的方法：

• 将

  g(n)=(2002∗g(n−1)+2003∗g(n−2))% 2005
  ⇓
  g(n)=(−3∗g(n−1)−2∗g(n−2))% 2005
  ⇓
  g(n)+x∗g(n−1)=((x−3)∗g(n−1)−2∗g(n−2))% 2005

• 求系数配比：1x−3=x−2.

  • 解得x1=1,x2=2.

• 将解带进去，解得g(2005)=(22005−1) mod 2005

• 然后我们可以将2005拆成5,401，再运用欧拉定理(22005−1) mod 5=22005 mod 4mod 5=2

• 求得

  x≡2(mod 5)
  x≡32(mod 401)

• 然后再运用中国剩余定理即可.

x=32，g(2005)=31