【HAOI2011】Problem b（莫比乌斯反演+分块儿）

Problem

给定a,b,c,d,k，求a<=x<=b,c<=y<=d,gcd(x,y)=k的对数.

a,b,c,d,k<=50000

Solution

• 转化模型

  • 我们先把问题转化为求

    • Ans(b,d)−Ans(a−1,d)−Ans(b,c−1)+Ans(a−1,c−1)

  • 然后，现在只需求(1<=x<=n,1<=y<=m)的gcd(x,y)对数

• 基本思路：

  • f(k)表示1<=x<=n,1<=y<=m，且gcd(x,y)=k的数对个数.

  • g(k)表示1<=x<=n,1<=y<=m，且k|gcd(x,y)的数对个数.

  • 显然，有

    g(k)=∑d=1⌊nk⌋f(k∗d)

  • 而g(k)=⌊nk⌋∗⌊mk⌋

  • 所以有

    f(k∗i)=g(k∗i)−∑j=2⌊nk∗i⌋f(k∗i∗j)

  • 但这样的时间复杂度还不够优，i<=|nk|，所以单次询问时间复杂度为

    ∑i=1nk(⌊nk∗i⌋−1)

• 此时，我们考虑莫比乌斯反演.

• 根据

  g(k)=∑d=1⌊nk⌋f(k∗d)=⌊nk⌋∗⌊mk⌋
  ⇓
  f(k)=∑d=1⌊nk⌋μ(d)∗⌊nk∗d⌋∗⌊mk∗d⌋

• 根据http://blog.csdn.net/algor_pro_king_john/article/details/78396194的“一个变形”即可以证明.

• 所以这样子，单次询问时间复杂度变为O(nk).

• 再次考虑优化
  

• 可以发现，第一行的取值不会超过2∗nk−−√，第二行取值不会超过2∗mk−−√.

• 可以运用分块，每次找到完全相同的一段进行计算.

• 处理一个μ的前缀和即可.

• 单次询问时间复杂度变为O(n√+m−−√)