Splay操作集合

Perface

• 先前学了一发Splay，觉得并不是很难，这里做一个小总结.

• 鉴于理解splay的文章很多，但真正有关模板的好文章很少，本文不会进行深入讲解，仅仅是把其对应的一些操作总结一下.

线段树 VS Splay

• 我们都知道对于一般序列上的问题，要维护的，一般都可能想到线段树.

• 但实际上，线段树能做的东西只是Splay能做的东西中的一个子集.

• Splay vs 线段树

  • 从代码难易程度上，显然线段树占优.

  • 从一般时间上，线段树能做的题，速度大多比Splay快，ZKW优势明显.

  • 但从用途上，Splay能做的东西就要多很多

    • 例如在某某位置插入一个数，删除一个数，旋转一堆数，再询问答案.

    • 这是线段树所做不到的.

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splay基础操作

• 第一个操作：Rotate(x)

  • 定义为把x旋转到x父亲位置，并保证Splay的中序.

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• 注意：son(x)的简洁用法，以及两个if和更新父子关系的先后顺序.

• 其中son(x)可以如下使用：

  • 

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• 第二个操作（Maintain）：Splay(x,y)

  • 定义为把x通过Rotate操作旋转到y的儿子中.

• 

其中，这个操作还有如下简洁地写法：

• 

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• 第三个操作（区间修改操作）：remove(x,y)

  • 定义为把从x−>y这一条路径上所有的标记释放.

• 

• 其中clear操作如下实现：

  • 

• 这里的情况显然是给一段数加个值.

• lazy操作则可以根据所需情况实现：

  • 

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• 第四个操作（求答案）：update(x)

  • 定义为处理x点的答案.

  • .

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• 注意到，仅用以上四个操作，我们就可以完成基本的splay操作，我们几乎可以切掉所有线段树能切的题了.

• 但接下来，我们还是得讲一些比较nb的操作：

• 以：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224此题为例.

• 需要支持的操作有：

  • 插入x数

  • 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)

  • 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)

  • 查询排名为x的数

  • 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)

  • 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

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Splay进阶操作

• 操作一：insert(x)

  • 定义为在一颗splay中插入权值为x的点.

• 

• 我们看一下这个操作有什么需要注意的：

  • ①我们需要判断root是否为0，如果是，代表当前树为空，进行特殊操作.

  • ②然后我们从root开始走，每次需要判断当前的x是否以前出现过，出现过则加计数器

  • ③否则，我们就可以新开节点.

  • ④这里需要注意的是update操作，有人可能会不解，这里没有进行remove操作，如何保证insert后所有的节点都被更新？

    • 对于这一点，你只需要关注：splay(now,0)这一条语句即可.

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• 操作二：find(x)

  • 定义为找到权值为x点的排名（若有多个相同的，因输出最小的排名）

• 

• 这个操作需要注意的不多：

  • 但也需要时刻关注题目，这里的rank+1很关键

  • 以及代码是如何处理节点的去向，最后，最关键的是：

  • 一定要记得splay(now,0)，否则均摊会失效.

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• 操作三：pre()

  • 定义为求root的前驱，当然我们也可以设为x的前驱.
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• 操作四：next()

  • 定义为求root的后继.

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• 操作五：update(x)

  • 这里的定义为维护子树大小.

  • 我们也可以理解为我们需要维护的一些东西.

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• 操作六：delete(x)

  • 定义为把权值为x的点给删掉一个.

• 

• 这是一个比较麻烦的操作：

  • 第一，我们需要注意对于左子树空，右子树空，当前x有多个节点时的特殊处理.

  • 很重要的一步是，find(x)，目的很显然了，就是把权值为x的点移到树根.

  • 注意，这里万万不可直接splay(x)，因为权值和编号是不一样的概念.

  • splay的形态是按权值的，但具体记录父亲儿子是按编号的.

  • 然后如果左儿子右儿子都存在时，我们可以pre()找到刚好比x小的一个点作为根，然后再修改父子关系.

  • 最后注意一定要clear(root)以及update(root)

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• 操作七：fim(x)

  • 定义为寻找排名为x的权值.

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• 这应该就很好理解了吧，注意rank+size[tr[nw][0]]中的rank一词.

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• 拥有以上七个操作，这道题就可以迎刃而解，但是我们还有一些细节需要注意：

  • 如果我们要求x的前驱，我们可以先插入这个节点，然后再找，最后记得删掉，求后继一样.

  • 这样很方便.

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总结

• 从此文我们可以看到splay的强大之处，以及C++的简洁之处.

• 我们需要注意的是核心splay(x,y)

• 不管对于什么样的操作，insert也好，delete也好，都一定要把我们进行操作修改的点splay一下.

• 这是核心，一定时刻牢记.

• 一句话：splay是越多越好.

• 其次，我们还需要注意在rotate的时候一定要先update(y)再update(x)，原因很显然.

  • 然而如果不这么做交到Bzoj上还是能A掉…