1225: 字符串的修改

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这其实是一道经典的题目——Edit distance

很自然地我们会想到，变换两个字符串所需的操作次数与这两个字符串的匹配程度有关。

举个栗子 SNOWY & SUNNY
以下是几种可能的情况
S – N O W Y
S U N N – Y
操作数：3

– S N O W – Y
S U N – – N Y
操作数：5

“–”意味着一次插入或删除操作。

当它们匹配程度最高时，便会有最小的操作数产生，如果你枚举的话，可以发现，第一种修改情况的操作数是最少的，没有比这更少的操作数：插入 U，将 O→N，删除 W。

总而言之，两个字符串之间有很多种匹配方案，如果暴力搜索无疑是低效的。

在这里，我们引入一个全新的思考问题的视角：

我们把输入的两个字符串 xm 和 yn 表示为 x[1⋅⋅⋅m] 和 y[1⋅⋅⋅n](m,n表示x，y的长度)

想象一下，假设我们已经获得x[1⋅⋅⋅i−1]和y[1⋅⋅⋅j−1]、x[1⋅⋅⋅i]和y[1⋅⋅⋅j−1]、x[1⋅⋅⋅i−1]和y[1⋅⋅⋅j]匹配时的最小操作数，分别记为 dp(i−1,j−1)、dp(i,j−1)、dp(i−1,j)，
此时当我们要匹配x[1⋅⋅⋅i]和y[1⋅⋅⋅j]时，我们会面临如下3种选择：

1.删除x[i]

x[i]
−

2.插入y[j]

−
y[j]

3.x[i]→y[j]

x[i]
y[j]

以下重点！
以第一种情况为例：删除x[i]，操作数为1，那么此时x的长度为i−1，很容易想到，此时的总操作数dp(i,j)恰恰就是在已知的dp(i−1,j)的基础上+1，同理第二、三种情况可得类似的结果。

题目要求最少的操作数，那么我们最好的方案便是在每一步时都求得最少的操作数，按以上思路继续，便可获得整体最小的操作数。（由于以上式子i,j为1...m,1...n中任意一个数，故以上思路存在普遍性）

即

dp(i,j)=min{dp(i−1,j)+1,dp(i,j−1)+1,dp(i−1,j−1)+diff(i,j)}

其中,当x[i]!=y[i]时，diff(i,j)=1，表示需要一次修改操作；当x[i]==y[i]时，diff(i,j)=0，表示此时不需要修改操作

如此，我们刚好可以用一个二维数组dp[i][j]表示dp(i,j)，让i,j分别从小到大循环，来处理x[i]和y[i]的情形。最后dp[m][n]即为所求的最小值。

伪代码可以这么写
for i=0,1,2,...,m:
       dp[i][0]=i
for j=0,1,2,...,n:
       dp[0][j]=j
for i=1,2,...,m:
       for j=1,2,...,n:
              dp(i,j)=min{dp(i−1,j)+1,dp(i,j−1)+1,dp(i−1,j−1)+diff(i,j)}

其实这种方法叫做动态规划 Dynamic programming，dp是它的缩写，同学们可以自己去了解一下这种思想方法。