数据结构与算法-伸展树

介绍

伸展树是一种特殊的二叉查找树，其基本思想是当一个节点被访问后，需要经过一系列的AVL树的旋转操作将该节点推到根节点。伸展树不要求像AVL树那样保留树的高度或者平衡信息，但是可以保证开始连续M次对树的操作最多花费O(logN)时间。

展开

展开（splaying）操作是将访问的节点通过一系列旋转变为根节点的过程。假设节点X是访问路径上非根节点，X存在父节点P和祖父节点G。伸展树的展开操作可以分为自下而上和自上而下的展开过程。
1. 自下而上的伸展过程
如果X的父节点P是根节点，则只需要旋转X和树根；反之如果，需要考虑两种情况。
第一种情况是之字形，如下图，X位于G的左节点的右子树，需要执行AVL双旋操作，同理X位于G的右节点的左子树。

第二种情况是一字形，如下图2，X位于G的左节点的左子树或者其对称的情况，则需要进行如下的操作：先对G执行右旋转，此时P作为根节点，然后再对P执行右旋操作，此时X成为根节点。

通过自下而上的方式需要保存查询路径上各个节点的指针。
2. 自上而下的伸展过程（参考自博客）
当自上而下搜索某个节点X的时候，将搜索路径上的节点及其子树移走，并构建两棵临时的树–左树和右树。当前节点T作为中树的根；值小于T的节点构成左树；值大于T的节点构成右树。其中，右树的左节点始终为null，左树的右节点始终为null，接下来将以图例的方式讲解伸展过程。
当查询位置在节点G时，左树为null，右树为null，中树为G为根节点的整棵树，如下图所示。

然后向下走，当查询位置为节点P时，左树仍为null，右树为根节点为G的部分子树

继续向下走，当查询位置为节点X时，左树仍为null，右树包括根节点为P的部分子树和根节点为G的部分子树，需要将二者合并成根节点为P的子树。

最后将现存的左、中、右三颗树合并，并将上图中中树的左子树插入到左树的最右节点，中树的右子树插入到右树的最左节点，完成合并，构成如下的以节点X作为根节点的树。