统计学习方法 第6章 逻辑斯谛回归与最大熵模型（1）

逻辑斯谛分布

设X是连续随机变量，X服从逻辑斯谛分布是指X具有下列分布函数和密度函数：

其中μ为位置参数，γ为形状参数。

逻辑斯谛分布的密度函数和分布函数：

二项逻辑斯谛回归模型

二项逻辑斯谛回归模型是如下的条件概率分布：

对于给定的输入实例x，求得P(Y=1|x)和P(Y=0|x)，比较两个条件概率值的大小，将实例x分到概率值较大的一类。

方便起见，将权值向量和输入向量扩充，即
w=(w⁽¹⁾,w⁽²⁾,…,w⁽ⁿ⁾,b)
x=(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x⁽ⁿ⁾,1)

此时逻辑斯谛回归模型为：

一个事件的几率是指事件发生的概率与不发生的概率的比值。若事件发生概率为p，则其对数几率为：

对逻辑斯谛回归而言：

即输出Y=1的对数几率是输入x的线性函数。

参数估计

可以应用极大似然估计法估计模型参数。设：

似然函数为：

对数似然函数：

对L(w)求极大值，得到w的估计值。

这样问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，通常采用梯度下降法和拟牛顿法。

最大熵原理

假设离散随机变量X的概率分布是P(X)，则其熵是：

熵满足：

最大熵原理是概率模型的学习的一个准则，认为在所有可能的概率模型中，熵最大的模型是最好的模型。

最大熵原理认为要选择的概率模型首先需满足约束条件，在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分是等可能的。

最大熵模型

给定训练数据集，可以确定联合分布P(X,Y)的经验分布和边缘分布P(X)的经验分布：

其中v表示出现频数，N表示样本容量。

用特征函数f(x,y)描述输入x和输出y之间的某一个事实：

特征函数f(x,y)关于经验分布

的期望值：

特征函数f(x,y)关于模型P(Y|X)与经验分布

的期望值：

若模型能够获取训练数据中的信息，即可假设这两个期望相等：

将该式作为模型学习的约束条件。

假设所有满足约束条件的模型集合为：

定义在条件概率分布P(Y|X)上的条件熵为：

则模型集合C中条件熵H(P)最大的模型称为最大熵模型。