Logistic Regression（逻辑回归）原理及公式推导

Logistic Regression（逻辑回归）是机器学习中一个非常非常常见的模型，在实际生产环境中也常常被使用，是一种经典的分类模型（不是回归模型）。本文主要介绍了Logistic Regression（逻辑回归）模型的原理以及参数估计、公式推导方法。

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模型构建

在介绍Logistic Regression之前我们先简单说一下线性回归，，线性回归的主要思想就是通过历史数据拟合出一条直线，用这条直线对新的数据进行预测，线性回归可以参考我之前的一篇文章。

我们知道，线性回归的公式如下： 

z=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3...+θnxn=θTx

而对于Logistic Regression来说，其思想也是基于线性回归（Logistic Regression属于广义线性回归模型）。其公式如下： 

hθ(x)=11+e−z=11+e−θTx

其中，

y=11+e−x

被称作sigmoid函数，我们可以看到，Logistic Regression算法是将线性函数的结果映射到了sigmoid函数中。

sigmoid的函数图形如下： 

我们可以看到，sigmoid的函数输出是介于（0，1）之间的，中间值是0.5，于是之前的公式 hθ(x) 的含义就很好理解了，因为 hθ(x) 输出是介于（0，1）之间，也就表明了数据属于某一类别的概率，例如 ： 
hθ(x)<0.5 则说明当前数据属于A类； 
hθ(x)>0.5 则说明当前数据属于B类。 
所以我们可以将sigmoid函数看成样本数据的概率密度函数。

有了上面的公式，我们接下来需要做的就是怎样去估计参数 θ 了。

首先我们来看， θ 函数的值有特殊的含义，它表示 hθ(x) 结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为： 

P(y=1|x;θ)=hθ(x)

P(y=0|x;θ)=1−hθ(x)

极大似然估计

根据上式，接下来我们可以使用概率论中极大似然估计的方法去求解损失函数，首先得到概率函数为： 

P(y|x;θ)=(hθ(x))y∗(1−hθ(x))1−y

因为样本数据(m个)独立，所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积,取似然函数为： 

L(θ)=∏i=1mP(y(i)|x(i);θ)

L(θ)=∏i=1m(hθ(x(i)))y(i)∗(1−hθ(x(i)))1−y(i)

取对数似然函数： 

l(θ)=log(L(θ))=∑i=1mlog((hθ(x(i)))y(i))+log((1−hθ(x(i)))1−y(i))

l(θ)=log(L(θ))=∑i=1my(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))

最大似然估计就是要求得使 l(θ) 取最大值时的 θ ，这里可以使用梯度上升法求解。我们稍微变换一下： 

J(θ)=−1ml(θ)

因为乘了一个负的系数−1m，然后就可以使用梯度下降算法进行参数求解了。梯度下降具体就不在这里多说了，可以参考之前的文章。

参考文章： 
http://blog.chinaunix.net/xmlrpc.php?r=blog/article&uid=9162199&id=4223505 
http://blog.csdn.net/wangran51/article/details/8892923