算法训练 最大最小公倍数

问题描述

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

输入格式

输入一个正整数N。

输出格式

输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。

样例输入

9

样例输出

504

数据规模与约定

1 <= N <= 10⁶。

这道题用贪心算法，涉及到很多数学的东西，lz也是绞尽脑汁，参考了点别人的答案，

思路：若n 和 n-1和n-2 三个数 两两互质的话，那么结果就是这三个数的积。


根据数论知识：任意大于1的两个相邻的自然数都是互质的.


我们可以知道，当n是奇数时，n 和n-2都是奇数，n-1是偶数,那么他们三个的公约数肯定不是2,而因为这三个数是连续的，所以大于2的数都不可能成为他们或其中任意两个数的公约数了.结果就是他们三个的乘积.


而当n为偶数时，n*(n-1)*(n-2)肯定不行了，因为n和n-2都是偶数，那么只能将n-2改成n-3，即n*(n-1)*(n-3),如果这三个数两两互质那么肯定就是结果了.


但是因为n和n-3相差3,所以当其中一个数能被3整除时，另一个肯定也可以.而当其中一个不可以时，另一个肯定也不可以.而因为n为偶数,n-3为奇数，所以2不可能成为他俩的公因子。对于大于3的数，肯定就都不可能成为这三个数或者其中任意两个数的公约数了.因此只需再对3进行判断：


如果n能整除3，那么，n*(n-1)*(n-3)就肯定不行了，因为n和n-3有了公约数3，结果肯定小了，那么就只能继续判下一个即n*(n-1)*(n-4)而这样n-4又是偶数，不行，继续下一个n*(n-1)*(n-5) = n^3 -6*n^2 + 5*n 而如果这个可以 那个其值肯定要小于(n-1)*(n-2)*(n-3) = n^3 -6*n^2+11n-6(对于n>1来说都成立),而(n-1)*(n-2)*(n-3)由上一个奇数结论可知是一个符合要求的，因此到n-5就不用判断了。直接选答案为(n-1)*(n-2)*(n-3)；


而n不能整除3，那么结果就是n*(n-1)*(n-3)，因为n和n-3都不能整除3,此时n-1能不能整除3都无关紧要了.而对于其它数 都是不可能的.上面已证.

简单的提炼一下，先判断n是不是奇数 ，如果是  直接输出n*(n-1)*(n-2)  否则判断n能不能被3整除，如果不能，输出n*(n-1)*(n-3)，否则输出(n-1)*(n-2)*(n-3) 

首先要写n=1和n=2的情况，即使你不写，也会是满分，因为测试数据中没有1和2 但是，不写的话，，，心里难受  哈哈

代码

1. import java.util.Scanner;  
2. public class Main {  
3.       
4.     public static void main(String[] args) {  
5.         Scanner sc = new Scanner(System.in);  
6.         long n = sc.nextInt();  
7.           
8.         long result1 = n*(n-1)*(n-2);  
9.         long result2 = n*(n-1)*(n-3);  
10.         long result3 = (n-3)*(n-1)*(n-2);  
11.         if(n==1){System.out.println(1);}  
12.         else{  
13.             if(n==2){System.out.println(2);}  
14.             else{  
15.                 if(n%2 != 0){  
16.                     System.out.println(result1);  
17.                 }  
18.                 else{  
19.                     if(n%3 != 0){  
20.                         System.out.println(result2);  
21.                     }else{  
22.                         System.out.println(result3);  
23.                     }  
24.                 }  
25.             }  
26.         }  
27.     }  
28.   
29. }