数据结构-图的分析

1、有向图的强连通分量的计算:Kosaraju算法

时间复杂度：O（V+E），对于有向图的强连通性查询可以在常数时间内完成。

步骤：1、对图G进行转置（反向图）得到图Gr

   2、对Gr求得逆反序，即Gr的拓扑序列

   3、从Gr的拓扑序列开始，进行深度优先搜索，得到的搜索树即强联通分量。

说实话，这个算法从代码量上是非常简洁的，仅仅就是从遍历所有节点（0,1....v）变成了按照拓扑序列开始遍历，多一个栈来存储Gr的逆后序，其他的都和标准的深度优先搜索一致。

但难就难在理解，为什么用Gr的逆反序进行dfs（s）可达v就能证明S,V是强连通的。

首先：dfs（s）可达v，是在Gr中，而Gr是G的反向图，则在G中，V->S是可达的。现在需要证明的就是通过这个dfs能证明s->v是可达的。

而我们知道，有向图的基于深度优先的顶点排序，前序是代表dfs（）的调用顺序，后序是代表顶点遍历完成的顺序，逆后序从字面就能理解。

而在逆后序的栈中，s在v之前被遍历到，证明v是比s先入栈的，即先完成的结点。

因此根据DFS调用的递归性质，DFS(v)应该在DFS(s)之前返回，而有两种情形满足该条件：

1. DFS(v) START -> DFS(v) END -> DFS(s) START -> DFS(s) END

2. DFS(s) START -> DFS(v) START -> DFS(v) END -> DFS(s) END

是因为而根据目前的已知条件，GR中存在一条s到v的路径，即意味着G中存在一条v到s的路径，

而在第一种情形下：调用DFS(v)却没能在它返回前递归调用DFS(s)（即v->s不可达，与已知条件相悖），这是和G中存在v到s的路径相矛盾的，因此不可取。

故情形二为唯一符合逻辑的调用过程。而根据DFS(s) START -> DFS(v) START可以推导出从s到v存在一条路径。（符合dfs中for(int s:order.reverseOrder()）即v是s可达的点。