欧几里得算法

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欧几里得算法计算的是两个自然数a和b的最大公约数，两个数的最大公约数通常写成gcd(a, b)，如果有gcd(a, b)==1，则有a，b互质。

欧几里得算法

• 递归

int Gcd(int a, int b){    if(b == 0)        return a;    return Gcd(b, a % b);}

• 迭代

int Gcd(int a, int b){    while(b != 0)    {        int r = b;        b = a % b;        a = r;    }    return a;}

扩展欧几里得算法

• 介绍
  扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p*a+q*b=Gcd(a,b)(根据数论中的相关定理解一定存在，不展开叙述)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

• 算法

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    int r = exGcd(b, a % b, x, y);    int t = x;    x = y;    y = t - a / b * y;    return r;}

• 理解
  把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 可以这样思考: 对于a’ =b , b’ =a%b 而言，我们求得x, y使得a’ x+b’ y=Gcd(a’, b’) 由于b’ = a % b = a - a / b * b 那么可以得到 :
  a’ x + b’ y = Gcd(a’ , b’)
  ===>
  bx + (a - a/b *b)y = Gcd(a’ , b’) = Gcd(a, b) //注意到这里的/是C语言中的出发
  ===>
  ay + b(x- a/b *y) = Gcd(a, b)
  因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)

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