bzoj3295 [Cqoi2011]动态逆序对（CDQ分治）

Description

对于序列A，它的逆序对数定义为满足i<j，且A_i>A_j的数对(i,j)的个数。给1到n的一个排列，按照某种顺序依次删除m个元素，你的任务是在每次删除一个元素之前统计整个序列的逆序对数。

Input

输入第一行包含两个整数n和m，即初始元素的个数和删除的元素个数。以下n行每行包含一个1到n之间的正整数，即初始排列。以下m行每行一个正整数，依次为每次删除的元素。

Output

输出包含m行，依次为删除每个元素之前，逆序对的个数。

Sample Input

5 4
1
5
3
4
2
5
1
4
2

Sample Output

5
2
2
1

样例解释

(1,5,3,4,2) (1,3,4,2) (3,4,2) (3,2) (3)

分析：
CDQ分治（这种算法真的不好搞）
我们还是先找三维偏序：

• 时间
• 位置（数组下标）
• 数值

胡乱打了一通之后，感觉不大对
安静的思考了一下，发现这就是陌上花开的变形
我一开始比较simple的直接顺序做了，但是发现删除这个操作不好搞

实际上我们可以把删除看做是逆向添加
把所有操作都翻过来：先删除变成后添加，后删除变成先添加

针对每一个位置x，计算插入x后新形成的包含x的逆序对数量

---

我们在代码讲解中详细介绍思路：

• 对于每一个操作，我们设置四个变量：

struct node{    int x,y,num,type;  //x是数组下标 y是数值 num是时间 type是询问/修改 };

• 我们对于原始序列和修改需要暗箱操作一下：
  我们需要一个辅助数组shu[i]，表示数字i在原数组中的位置
  （因为我们在删除的时候给出的是值，但是操作只能在数组下标上进行）

for (int i=1;i<=n;i++){    scanf("%d",&po[i].y);    po[i].x=i; shu[po[i].y]=i;}int tot=n;for (int i=1;i<=m;i++){    int x;    scanf("%d",&x);    po[shu[x]].num=tot--;               //先删除--->后添加  时间要更改一下 } for (int i=1;i<=n;i++)    if (po[i].num==0) po[i].num=tot--;  //没删除的元素相当于是最先添加的 

• 在CDQ之前，我们需要先按照num排一下序（时间顺序）
• 在CDQ函数中，我们先处理再分治，
  为了方便处理，我们把左区间的操作打上标记（修改标记）复制到数组里，把右标记的操作打上标记（修改标记）复制到数组里

for (int i=L;i<=M;i++) q[++cnt]=po[i],q[cnt].type=0;   //修改for (int i=M+1;i<=R;i++) q[++cnt]=po[i],q[cnt].type=1;   //询问 

之后按照 x （在数组中的位置）排序，打上标记sort后我们就可以清楚的分出那些是左区间的，那些是右区间的（左区间修改，右区间询问）

• 对于询问的处理，需要分成两部分，对于数值y
  
  • 记录排在 ta 前面（x值小于ta的x值）且值比y大的元素个数
  • 记录排在 ta 后面（x值大于ta的x值）且值比y小的元素个数

for (int i=1;i<=cnt;i++){    if (q[i].type==0) add(q[i].y,1);    else ans[q[i].num]+=ask(n)-ask(q[i].y);}for (int i=1;i<=cnt;i++)    if (q[i].type==0) add(q[i].y,-1);for (int i=cnt;i>=1;i--){    if (q[i].type==0) add(q[i].y,1);    else ans[q[i].num]+=ask(q[i].y);}for (int i=1;i<=cnt;i++)    if (q[i].type==0) add(q[i].y,-1);

为什么我们在普通的逆序对计数的时候不用前后都计算呢？
因为我们在这里计算的是：

针对每一个位置x，计算插入x后新形成的包含x的逆序对数量

这样的定义，就牵扯到了答案的统计

• ans[i]记录的是第i个插入的元素能够新形成的逆序对个数
  Σans[i]就是整个序列中的逆序对个数
  但是我们要输出删除每一个数字之前序列的逆序对个数，
  所以直接逆序减去每一个待删除数字的ans即可

ll Ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) Ans+=ans[i];for (int i=n;i>n-m;i--) printf("%lld\n",Ans),Ans-=ans[i];  //删除操作的num都集中在n~n-m+1

tip

最后答案要开ll

//这里写代码片#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int N=100010;int n,m;struct node{    int x,y,num,type;                    //x是数组下标 y是数值 num是时间 };node po[N],q[N];int ans[N],shu[N],t[N];int cmp0(const node &a,const node &b) {return a.num<b.num;}int cmp(const node &a,const node &b){    if (a.x!=b.x) return a.x<b.x;    else return a.type<b.type;}void add(int x,int z){    for (int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) t[i]+=z;}int ask(int x){    int ans=0;    for (int i=x;i>1;i-=(i&(-i))) ans+=t[i];    return ans;}void CDQ(int L,int R){    if (L==R) return;    int M=(L+R)>>1;    int cnt=0;    for (int i=L;i<=M;i++) q[++cnt]=po[i],q[cnt].type=0;   //修改    for (int i=M+1;i<=R;i++) q[++cnt]=po[i],q[cnt].type=1;   //询问     sort(q+1,q+1+cnt,cmp);    for (int i=1;i<=cnt;i++)    {        if (q[i].type==0) add(q[i].y,1);        else ans[q[i].num]+=ask(n)-ask(q[i].y);    }    for (int i=1;i<=cnt;i++)        if (q[i].type==0) add(q[i].y,-1);    for (int i=cnt;i>=1;i--)    {        if (q[i].type==0) add(q[i].y,1);        else ans[q[i].num]+=ask(q[i].y);    }    for (int i=1;i<=cnt;i++)        if (q[i].type==0) add(q[i].y,-1);    CDQ(L,M); CDQ(M+1,R);}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for (int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&po[i].y);        po[i].x=i; shu[po[i].y]=i;    }    int tot=n;    for (int i=1;i<=m;i++)    {        int x;        scanf("%d",&x);        po[shu[x]].num=tot--;               //先删除--->后添加  时间要更改一下     }     for (int i=1;i<=n;i++)        if (po[i].num==0) po[i].num=tot--;  //没删除的元素相当于是最先添加的     sort(po+1,po+1+n,cmp0);                 //先按照时间排序       CDQ(1,n);     ll Ans=0;    for (int i=1;i<=n;i++) Ans+=ans[i];    for (int i=n;i>n-m;i--) printf("%lld\n",Ans),Ans-=ans[i];      //删除操作的num都集中在n~n-m+1    return 0;}