神经网络之自编码与稀疏性

自编码算法是一种非监督学习，可以理解为通过神经网络尝试学习一个函数使得输出等于输入

                                                            

如图输入层和输出层各有6个神经元，隐藏层有3个神经元，这个网络就是学习了一个数据的压缩表示，它能通过3个（维）的隐藏神经元重构出6个（维）输出神经元的数据。

       如果网络的输入数据是完全随机的，比如每一个输入  都是一个跟其它特征完全无关的独立同分布高斯随机变量，那么这一压缩表示将会非常难学习。但是如果输入数据中隐含着一些特定的结构，比如某些输入特征是彼此相关的，那么这一算法就可以发现输入数据中的这些相关性（就是这么神奇）。

        事实上，这一简单的自编码神经网络通常可以学习出一个跟主元分析（PCA）结果非常相似的输入数据的低维表示。

        当隐藏神经元较多的时候，可以加入稀疏性的限制学习到一些有趣的东西。在介绍稀疏性之前先引入活跃度的概念，当一个神经元的激活函数输出接近最大值时（sigmoid是1，tanh是1）称这个神经元是被激活的；当一个神经元的激活函数输出接近最小值时（sigmoid是0，tanh是-1）称这个神经元是被抑制的。

这样我们就可以算出隐藏层神经元的平均激活度

                                                                                

然后对这个平均激活度加以限制，限制通常是一个接近于0的较小的数

                                                                                                     

为了实现这个限制，要在目标优化函数中加入一个额外的惩罚因子，惩罚因子有很多种，以下是其中一种

                                                                

（当rho非常大时，主要起作用的就是式子中的前半段，这个惩罚因子也会非常大，当rho非常小时，式子中的前半段也非常小，后半段中近似为log1，也就是0，整个惩罚因子也就变得非常小）

 其实这个惩罚因子也就是一个以  为均值和一个以  为均值的两个伯努利随机变量之间的相对熵

                                                                    

应用：当我们对稀疏自编码器（100个隐藏单元，在10X10像素的输入上训练 ）进行上述可视化处理之后，发现不同隐藏神经元学到的是不同的位置和方向的边缘检测（等我写完了来补，逃）