数论——素数

判定素数

穷举法判定

bool check(int k){    if(k==0||k==1)return false;    for(int i=2;i<=sqrt(k);i++)    if(k%i==0)    return false;    return true;}

埃氏筛法

void make_primetable(int n){    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));    is_prime[0]=false;    is_prime[1]=false;    for(int i=2;i<=n;i++)    if(is_prime[i])    for(int j=i*i;j<=n;j++)    is_prime[j]=true; }

线性筛法

数学一本通的线性筛是错的！！看了我好久！！

埃氏筛法里面很多合数都会被重复筛选。我们为了避免这个情况出现，就有了线性筛法，线性筛法没有冗余，所以几乎是线性的算法。

#define maxn 10000005bool is_not_prime[maxn];int prime[maxn],num_prime;void get_prime(int n){    for(int i=2;i<=n;i++)//从2到n    {        if(!is_not_prime[i])            prime[num_prime++]=i;            //如果i是质数，那么就把它保存在一个素数表里面。        for(int j=0;j<num_prime&&i*prime[j]<=n;j++)        {            is_not_prime[i*prime[j]]=true;            if(!(i%prime[j]))//避免重复筛选的剪枝                break;        }    }}

Miller-Rabin素数测试

数论学家利用费马小定理研究出了多种素数的测试方法。Miller-Rabin就是其中一种。
费马小定理的证明在这里。
我们先来说几个概念：
伪素数：如果n是一个正整数，如果存在和n互质的正整数a满足an−1≡1(modn)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数（这句话的意思是，一个随机数a去测试数n，如果通过测试了，它就是一个伪素数，是素数的可能性就很大了）
Miller-Rabin算法的本质就是反复应用这个结论，把某一个数通过测试的概率累乘，那么这个数是素数的概率就接近100%。
如果测试次数是t，如果t次测试全部通过，那么这个数是素数的概率是4−t。
时间复杂度是t×log3n

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;inline int read(){    int num=0;    char c=' ';    bool flag=true;    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar())    if(c=='-')    flag=false;    for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());    return flag ? num : -num;}const int times=100;//测试次数int modular_exp(int a,int m,int n){    if(m==0)return 1;    if(m==1)return (a%n);    long long w=modular_exp(a,m/2,n);    w=w*w%n;    if(m&1)w=w*a%n;    return w;}bool Miller_Rabin(int n){    if(n==2)return true;    if(n==1||n==0)return false;    for(int i=1;i<=times;i++)    {        int a=rand()%(n-2)+2;        if(modular_exp(a,n-1,n)!=1)return false;    }    return true;}int main(){    srand(time(NULL));    int n=read();    int m=read();    for(int i=1;i<=m;i++)    {        int x=read();        if(Miller_Rabin(x))            printf("Yes\n");        else            printf("No\n");    }    return 0;}