马尔可夫随机场（MRF）

来源：互联网发布：什么样买卖数据编辑：程序博客网时间：2024/05/29 07:48

隐马尔科夫过程

与马尔科夫相比，隐马尔可夫模型则是双重随机过程，不仅状态转移之间是个随机事件，状态和输出之间也是一个随机过程。

随机场：

当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。我们不妨拿种地来打个比方。其中有两个概念：位置（site），相空间（phase space）。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。

马尔可夫随机场：
也叫马尔可夫网，拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。
无向图模型也叫马尔科夫随机场(Markov Random Fields)或马尔科夫网络(Markov Network)，无向图模型有一个简单的独立定义：两个节点集A、B都与给定的第三个节点集C相互条件独立，A、B节点之间的路径都被C中的节点分开。

形式化定义：
形式上，一个马尔可夫网络包括：
一个无向图 G = (V,E)，每个顶点 v ∈V 表示一个在集合X的随机变量，每条边 {u,v} ∈ E 表示随机变量u 和 v之间的一种依赖关系。
一个函数集合 f_k（也称为因子或者团因子有时也称为特征），每一个 f_k 的定义域是图G的团或子团k. 每一个 f_k是从可能的特定联合的指派（到元素k）到非负实数的映射。

联合分布函数：

联合分布（吉布斯测度）用马尔可夫网络可以表示为：
$P(X=x) = \frac{1}{Z} \prod_{k} f_k (x_{ \{ k \}})$
其中 $x=x_{\{1\}}x_{\{2\}}x_{\{3\}}\cdots$ 是向量， $x_{ \{ k \}} = x_{\{k,1\}}x_{\{k,2\}}\cdots x_{\{k,|c_k|\}}$ 是随机变量 $x_{ \{ k \}}$ 在第k个团的状态（ $|c_k|$ 是在第k个团中包含的节点数。），乘积包括了图中的所有团。注意马尔可夫性质在团内的节点存在，在团之间是不存在依赖关系的。这里， $Z$ 是配分函数，有
$Z = \sum_{x \isin \mathcal{X}} \prod_{k} f_k(x_{ \{ k \} })$ .
实际上，马尔可夫网联络经常表示为对数线性模型。通过引入特征函数 $\phi_k$ ，得到
$f_k=\exp \left(w_k^{\top} \phi_k (x_{ \{ k \}}) \right)$
和
$P(X=x) = \frac{1}{Z} \exp \left( \sum_{k} w_k^{\top} \phi_k (x_{ \{ k \}}) \right)$
以及划分函数
$Z = \sum_{x \isin \mathcal{X}} \exp \left(\sum_{k} w_k^{\top}\phi_k(x_{ \{ k \} })\right)$ 。
其中， $w_k$ 是权重， $\phi_k$ 是势函数，映射团 $k$ 到实数。这些函数有时亦称为吉布斯势；术语势源于物理，通常从字面上理解为在临近位置产生的势能。
对数线性模型是对势能的一种便捷的解释方式。一个这样的模型可以简约的表示很多分布，特别是在领域很大的时候。另一方面，负的似然函数是凸函数也带来便利。但是即便对数线性的马尔可夫网络似然函数是凸函数，计算似然函数的梯度仍旧需要模型推理，而这样的推理通常是难以计算的。
马尔可夫性质：

马尔可夫网络有这样的马尔可夫性质：图的顶点u在状态 $x_u$ 的概率只依赖顶点u的最近临节点，并且顶点u对图中的其他任何节点是条件独立的。该性质表示为

$P(X_u=x_u|X_v, v\ne u) = P(X_u=x_u|X_v, v\isin N_u)$

顶点u的最近临节点集合 $N_u$ 也称为顶点u的马尔可夫毯。

领域系统

分阶领域系统与子团

马尔科夫随机场与图像的关系

上面为观察场，下面为标签场

马尔科夫随机场

Gibbs分布

MRF与Gibbs分布的等价关系

贝叶斯公式

基于MRF的图像分割模型

***在argmaxg(t)中，表达的是定义域的一个子集，该子集中任一元素都可使函数g(t)取最大值。

势函数

特征场模型建立

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