最小树形图 && LCA && Tarjan && 最/次短路

最小树形图 && LCA && Tarjan && 最/次短路

一、最小树形图

定义：选择一些边，使得根节点能够到达图中所有的节点，并使得选出的边的边权和最小。
（其实就是有向图的最小生成树）
算法：类似于最小生成树，朱刘算法：
1、 判断图是否连通（。。。）
2、 除了根节点，给每个节点找到一个连入的权值最小的边，用数组记录，pre[i]为前驱，f[i]为边权。
（此时将所有选的权值加起来，为tmp）
3、 在选的所有边中，如果并不构成环，则直接输出tmp即可
4、 如果有环，则对环进行缩点：
假设环上有点a[1],a[2],a[3],•••,a[n],缩成的点为b,对于所有不在环上的点c：
(1) c到b的距离为min{e[c,a[i]]-f[a[i]]};
(2)b到c的距离为min{e[a[i],c]};
5、 至此，过程结束
例题：hdu 4966
将每门课的等级拆开，等级i向等级i-1连接一条权值为0的边，表示我们如果学会了这个等级的技能，上一等级也就学会了。
然后每个a l1向b l2连接一条权值为w的有向边，表示花费w学会这个技能。
跑一边最小树形图即可。

二、LCA

定义：两点的最近公共祖先
算法：tarjan / 倍增 / 链剖
这里主要叙述 Tarjan(离线)
1、 任选一个点为根结点并开始操作
2、 遍历该节点的所有子节点，并标记为访问过。
3、 如果子节点还有子节点，则继续第二步。
4、 将子节点合并到父节点上
5、 然后继续寻找与当前点a有询问关系的结点b
6、 如果b已经被访问过了，则b和a的lca为b所被合并到的点c
例题：cdoj 92
如果加上某条边，你就只有三种走的方式。
要么就和原来一样，要么就是u-A-B-v,要么就是u-B-A-v。
然后跑lca就行了

三、Tarjan

口胡：Tarjan算法用来处理强联通分量问题。例如有向图的连通性，无向图的割点和割边问题
算法：
1、每次选择一个点，压入栈中
2、使用dfn记录时间戳，用low记录该点能访问到的所有点。
3、每有一个dfn=low的点，就将栈顶直到当前点的所有点都弹出，这些点构成了一个联通分量。
例题：poj 1144
其实就是一个无向图求割点。（然而说到这里还是不会。。。）
无向图求割点可以使用tarjan。 （！！！）
对每个点依然用正常方式跑tarjan，与有向图缩点不同，如果访问到的点可以访问到dfn值更小的点，这说明儿子节点和上面的点形成了环，这个点不是割点。
如果有一个儿子不满足以上条件，就说明形成了割点

四、最、次短路

算法：最短路：spfa / dijkstra，不再叙述
次短路：两种记录方式。
第一种是在更新的时候记录一下，当前最短变次短，同样也可以记录路径数量。（麻烦一点）
第二种就是还正常跑最短路，记录每个点到起点和终点的最短距离，然后枚举每一条边，
查看到两端距离即可。不过这种方法不能记录路径数量。
例题：无