bzoj4318:OSU!(期望 + 线性递推)

4318: OSU!

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Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】 

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0 

N<=100000

Source

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这道题的知识点考察不深，就是期望的线性性质和立方差公式的运用

大体思路：

1.一个长度为i的全是1的序列到一个长度为i + 1的全是1的序列的递推，公式是由基本的立方差公式推出来的，(x + 1)^3 - x^3 = 3 * x * x + 3 * x + 1，再结合期望变个型

2.注意：期望的平方 != 平方的期望

代码：

#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;double p, e1, e2, e3, f;int n;double a, ans;signed main() {    scanf("%d", &n);    e2 = e1 = e3 = 0;    while(n--) {        scanf("%lf", &a);        f  = p + (3 * e2 + 3 * e1 + 1) * a;p = f;        e2 = (e2 + 2 * e1 + 1) * a;        e1 = (e1 + 1) * a;    }    printf("%.1lf\n", f);    return 0;}