单源最短路径问题(Bellman-Ford算法)

讲真，刚看到这个算法的时候我一脸懵逼，这是什么鬼，不过这也正常，大部分时候我看到一个新的算法总是一脸懵逼（笑），不过这没什么，像三体里说的“弱小和无知不是生存的障碍，傲慢才是”，所以，好好学就ok啦(*^_^*)。说了那么多废话，接下来进入正题啦！所谓最短路问题是图论中最基础的问题，是给定两个点，在以这2个点为起点和终点的路径中找到最短的那条。什么是最短呢？我们会有这个疑惑，是经过的顶点数或者边数最少？还是经过的边的权值和最小呢？在这里指的是经过的边的权值和最小。而单源最短路径问题是固定一个顶点，求它到其他所有点的最短路的问题。Bellman-Ford算法的基本思想是遍历所有的边，更新从起点到所有顶点的路径权值和。闲话少说，放码过来：

struct edge{    int from;    int to;    int cost;};//这是边，from，to为某条边的起点与终点，cost为权值int V,E;//V为图中顶点个数，E为图中的边数int d[V];//记录最短路径struct edge es[E]//存储边的数组void shortest_path(int s){//s为出发的顶点    for(int i = 0;i<V;i++) d[i]=INF;//初始化顶点s到各个点的距离为无穷大，这样更新的时候就很方便了    d[s]=0;//起始点的路径长短为0    //接下来考虑怎么更新d[i]中的路径大小    while(1){    bool update = false;//如果在下面的for循环中有更新路径，用update来记录    for(int i = 0;i<E;i++){//遍历所有的边，因为我们求的最短路径关乎边，    以边来循环才能确保所有的路径都被检查过，不然可能找不到最短的路径        edge e = es[i];        if(d[e.from!=INF]&&d[e.to]>d[e.from]+e.cost){        //这个条件用来判断什么时候更新路径，首先要更新e.to顶点的路径，        那么它前面的顶点e.from必须被走过，然后更新后的路径确实比原来的短，        就进行更新            d[e.to]=d[e.from]+e.cost;            update = true;//在for循环中有过更新操作，则将update改为true。            }    }    if(!update) break;//这一步很关键，如果单单循环一次for的话顶点有的有被更新，    有的没有，所以要用while循环，但什么时候跳出while循环呢？    显然是当所有的路径都更新了的时候。但怎么判断所有的路径都被更新了呢？    很简单，当一次for循环没有任何一个路径被更新时。    }    return;    }

不知道你们注意到没有，假如，假如，这个图中有负圈的话，更新操作就不是有限的，就无法跳出while循环，所以，要先检查图中是否存在负圈。怎么检查呢？只要检查循环次数就可以了。为什么呢？因为在不存在负圈的情况下，最短路不会经过同一个顶点2次，也就是说，最多通过V-1条边，while循环最多执行V-1次，反之，如果存在负圈，那么第V次循环也会更新d的值。以此来检查是否有负圈。

bool find_negative_loop(){    memset(d,0,sizeof(int));//将d全部初始化为0；    for(int i=0;i<V;i++){        for(int j=0;j<E;j++){            edge e = es[i];            if(d[e.to] > d[e.from]+cost){            d[e.to] = d[e.from] + e.cost ;            if(i==V-1) return true;            }        }    }    return false;    }

好了，先这样吧。