图论（二）：图的四种最短路径算法

本文总结了图的几种最短路径算法的实现：深度或广度优先搜索算法，弗洛伊德算法，迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford算法

原文：http://blog.csdn.net/qibofang/article/details/51594673 

1），深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）
从起始结点开始访问所有的深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点结点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。

下面是核心代码：

[cpp] view plain copy

1. void dfs(int cur, int dst){    
2.     /***operation***/    
3.     
4.     /***operation***/    
5.     if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去    
6.     if(cur == n){//临界条件    
7.         if(minPath > dst) minPath = dst;    
8.         return;    
9.     }    
10.     else{    
11.         int i;    
12.         for(i = 1; i <= n; i++){    
13.             if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){    
14.                 mark[i] = 1;    
15.                 dfs(i, dst+edge[cur][i]);    
16.                 mark[i] = 0;  //需要在深度遍历返回时将访问标志置0              
17.             }    
18.         }    
19.         return;    
20.     }    
21. }    

例1：下面是城市的地图，注意是单向图，求城市1到城市5的最短距离。(引用的是上次总结的图论（一）中1）的例2)

[cpp] view plain copy

1. /***先输入n个结点，m条边，之后输入有向图的m条边，边的前两元素表示起始结点，第三个值表权值，输出1号城市到n号城市的最短距离***/    
2. /***算法的思路是访问所有的深度遍历路径，需要在深度遍历返回时将访问标志置0***/    
3. #include <iostream>    
4. #include <iomanip>    
5. #define nmax 110    
6. #define inf 999999999    
7. using namespace std;    
8. int n, m, minPath, edge[nmax][nmax], mark[nmax];//结点数，边数，最小路径，邻接矩阵，结点访问标记    
9. void dfs(int cur, int dst){    
10.     /***operation***/    
11.     
12.     /***operation***/    
13.     if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去    
14.     if(cur == n){//临界条件    
15.         if(minPath > dst) minPath = dst;    
16.         return;    
17.     }    
18.     else{    
19.         int i;    
20.         for(i = 1; i <= n; i++){    
21.             if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){    
22.                 mark[i] = 1;    
23.                 dfs(i, dst+edge[cur][i]);    
24.                 mark[i] = 0;                
25.             }    
26.         }    
27.         return;    
28.     }    
29. }    
30.     
31. int main(){    
32.     while(cin >> n >> m && n != 0){    
33.         //初始化邻接矩阵    
34.         int i, j;    
35.         for(i = 1; i <= n; i++){    
36.             for(j = 1; j <= n; j++){    
37.                 edge[i][j] = inf;    
38.             }    
39.             edge[i][i] = 0;    
40.         }    
41.         int a, b;    
42.         while(m--){    
43.             cin >> a >> b;    
44.             cin >> edge[a][b];    
45.         }    
46.         //以dnf(1)为起点开始递归遍历    
47.         memset(mark, 0, sizeof(mark));    
48.         minPath = inf;    
49.         mark[1] = 1;    
50.         dfs(1, 0);    
51.         cout << minPath << endl;    
52.     }    
53.     return 0;    
54. }    

程序运行结果如下：

2），弗洛伊德算法（解决多源最短路径）：时间复杂度O(n^3),空间复杂度O(n^2)
基本思想：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1号和2号顶点进行中转......允许经过1~n号所有顶点进行中转，来不断动态更新任意两点之间的最短路程。即求从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。

分析如下：1，首先构建邻接矩阵Floyd[n+1][n+1]，假如现在只允许经过1号结点，求任意两点间的最短路程，很显然Floyd[i][j] = min{Floyd[i][j], Floyd[i][1]+Floyd[1][j]}，代码如下：

[cpp] view plain copy

1. for(i = 1; i <= n; i++){  
2.     for(j = 1; j <= n; j++){  
3.         if(Floyd[i][j] > Floyd[i][1] + Floyd[1][j])  
4.             Floyd[i][j] = Floyd[i][1] + Floyd[1][j];  
5.     }  
6. }  

2，接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短距离，在已经实现了从i号顶点到j号顶点只经过前1号点的最短路程的前提下，现在再插入第2号结点，来看看能不能更新更短路径，故只需在步骤1求得的Floyd[n+1][n+1]基础上，进行Floyd[i][j] = min{Floyd[i][j], Floyd[i][2]+Floyd[2][j]}；......
3，很显然，需要n次这样的更新，表示依次插入了1号，2号......n号结点，最后求得的Floyd[n+1][n+1]是从i号顶点到j号顶点只经过前n号点的最短路程。故核心代码如下：

[cpp] view plain copy

1. #define inf 99999999  
2. for(k = 1; k <= n; k++){  
3.     for(i = 1; i <= n; i++){  
4.         for(j = 1; j <= n; j++){  
5.             if(Floyd[i][k] < inf && Floyd[k][j] < inf && Floyd[i][j] > Floyd[i][k] + Floyd[k][j])  
6.                 Floyd[i][j] = Floyd[i][k] + Floyd[k][j];  
7.         }  
8.     }  
9. }  

例1：寻找最短的从商店到赛场的路线。其中商店在1号结点处，赛场在n号结点处，1~n结点中有m条线路双向连接。

[cpp] view plain copy

1. /***先输入n，m，再输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路其中1为商店，n为赛场，三元组分别表起点，终点，该路径长，输出1到n的最短路径***/  
2. #include <iostream>  
3. using namespace std;  
4. #define inf 99999999  
5. #define nmax 110  
6. int edge[nmax][nmax], n, m;  
7. int main(){  
8.     while(cin >> n >> m && n!= 0){  
9.         //构建邻接矩阵  
10.         int i, j;  
11.         for(i = 1; i <= n; i++){  
12.             for(j = 1; j <= n; j++){  
13.                 edge[i][j] = inf;  
14.             }  
15.             edge[i][i] = 0;  
16.         }  
17.         while(m--){  
18.             cin >> i >> j;  
19.             cin >> edge[i][j];  
20.             edge[j][i] = edge[i][j];  
21.         }  
22.         //使用弗洛伊德算法  
23.         int k;  
24.         for(k = 1; k <= n; k++){  
25.             for(i = 1; i <= n; i++){  
26.                 for(j = 1; j <= n; j++){  
27.                     if(edge[i][k] < inf && edge[k][j] < inf && edge[i][j] > edge[i][k] + edge[k][j])  
28.                         edge[i][j] = edge[i][k] + edge[k][j];  
29.                 }  
30.             }  
31.         }  
32.         cout << edge[1][n] << endl;  
33.     }  
34.     return 0;  
35. }  

程序运行结果如下：

3），迪杰斯特拉算法（解决单源最短路径）
基本思想：每次找到离源点（如1号结点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤：1，设置标记数组book[]：将所有的顶点分为两部分,已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q，很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]为1表示在集合P中；
2，设置最短路径数组dst[]并不断更新：初始状态下，令dst[i] = edge[s][i](s为源点，edge为邻接矩阵)，很显然此时dst[s]=0，book[s]=1。此时，在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。并依据以u为新的中心点，对每一条边进行松弛操作(松弛是指由结点s-->j的途中可以经过点u，并令dst[j]=min{dst[j], dst[u]+edge[u][j]})，并令book[u]=1;
3，在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点，对每一条边进行松弛操作(即dst[j]=min{dst[j], dst[v]+edge[v][j]}),并令book[v]=1;
4，重复3，直至集合Q为空。
以下是图示：

核心代码如下所示：

[cpp] view plain copy

1. #define inf 99999999  
2. /***构建邻接矩阵edge[][],且1为源点***/  
3. for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = edge[1][s]；  
4. for(i = 1; i <= n; i++) book[i] = 0;  
5. book[1] = 1;  
6. for(i = 1; i <= n-1; i++){  
7.     //找到离源点最近的顶点u，称它为新中心点  
8.     min = inf;  
9.     for(j = 1; j <= n; j++){  
10.         if(book[j] == 0 && dst[j] < min){  
11.             min = dst[j];  
12.             u = j;  
13.         }  
14.     }  
15.     book[u] = 1;  
16.     //更新最短路径数组  
17.     for(k = 1; k <= n; k++){  
18.         if(edge[u][k] < inf && book[k] == 0){  
19.             if(dst[k] > dst[u] + edge[u][k])  
20.                 dst[k] = dst[u] + edge[u][k];             
21.         }  
22.     }  
23. }  

例1：给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s，终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离有多条路线，则输出花费最少的。
输入：输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)
输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。
分析：由于每条边有长度d和花费p，最好构建边结构体存放，此外可以使用邻接链表，使用邻接链表时需要将上面的核心代码修改几个地方：

1，初始化dst[]时使用结点1的邻接链表；
2，更新最短路径数组时，k的范围由1~n变为1~edge[u].size()。先采用邻接矩阵解决此题，再使用邻接表解决此题，两种方法的思路都一样：初始化邻接矩阵或邻接链表，并
初始化最短路径数组dst ----> n-1轮边的松弛中，先找到离新源点最近的中心点u，之后根据中心点u为转折点来更新路径数组。

使用邻接矩阵求解：

[cpp] view plain copy

1. /***对于无向图，输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。***/  
2. /***n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)     输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。***/  
3. #include <iostream>  
4. #include <iomanip>  
5. using namespace std;  
6. #define nmax 1001  
7. #define inf 99999999  
8. struct Edge{  
9.     int len;  
10.     int cost;  
11. };  
12. Edge edge[nmax][nmax];  
13. int dst[nmax], spend[nmax], book[nmax], n, m, stNode, enNode;  
14. int main(){  
15.     while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){  
16.         int a, b, i, j;  
17.         //构建邻接矩阵和最短路径数组  
18.         for(i = 1; i <= n; i++){  
19.             for(j = 1; j <= n; j++){  
20.                 edge[i][j].cost = 0;  
21.                 edge[i][j].len = inf;  
22.             }  
23.             edge[i][i].len = 0;  
24.         }  
25.         while(m--){  
26.             cin >> a >> b;  
27.             cin >> edge[a][b].len >> edge[a][b].cost;  
28.             edge[b][a].len = edge[a][b].len;  
29.             edge[b][a].cost = edge[a][b].cost;  
30.         }  
31.         cin >> stNode >> enNode;  
32.         for(i = 1; i <= n; i++){  
33.             dst[i] = edge[stNode][i].len;  
34.             spend[i] = edge[stNode][i].cost;  
35.         }  
36.         memset(book, 0, sizeof(book));  
37.         book[stNode] = 1;  
38.         //开始迪杰斯特拉算法，进行剩余n-1次松弛  
39.         int k;  
40.         for(k = 1; k <= n-1; k++){  
41.             //找离源点最近的顶点u  
42.             int minNode, min = inf;  
43.             for(i = 1; i <= n; i++){  
44.                 if(book[i] == 0 && min > dst[i] /* || min == dst[i]&& edge[stNode][min].cost > edge[stNode][i].cost*/){  
45.                     min = dst[i];  
46.                     minNode = i;  
47.                 }  
48.             }  
49.             //cout << setw(2) << minNode;  
50.             book[minNode] = 1;//易错点1，错写成book[i]=1  
51.             //以中心点u为转折点来更新路径数组和花费数组  
52.             for(i = 1; i <= n; i++){  
53.                 if(book[i] == 0 && dst[i] > dst[minNode] + edge[minNode][i].len || dst[i] == dst[minNode] + edge[minNode][i].len && spend[i] > spend[minNode] + edge[minNode][i].cost){  
54.                     dst[i] = dst[minNode] + edge[minNode][i].len;//易错点2，错写成dst[i]+  
55.                     spend[i] = spend[minNode] + edge[minNode][i].cost;  
56.                 }  
57.             }  
58.         }  
59.         cout << dst[enNode] << setw(3) << spend[enNode] << endl;  
60.     }  
61.     return 0;  
62. }  

程序运行结果如下：

使用邻接链表求解：

[cpp] view plain copy

1. /***对于无向图，输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。***/  
2. /***n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)     输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。***/  
3. #include <iostream>  
4. #include <iomanip>  
5. #include <vector>  
6. using namespace std;  
7. #define nmax 1001  
8. #define inf 99999999  
9. struct Edge{  
10.     int len;  
11.     int cost;  
12.     int next;  
13. };  
14. vector<Edge> edge[nmax];  
15. int dst[nmax], spend[nmax], book[nmax], n, m, stNode, enNode;  
16. int main(){  
17.     while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){  
18.         int a, b, i, j;  
19.         //构建邻接表和最短路径数组  
20.         for(i = 1; i <= n; i++) edge[i].clear();  
21.         while(m--){  
22.             Edge tmp;  
23.             cin >> a >> b;  
24.             tmp.next = b;  
25.             cin >> tmp.len >> tmp.cost;  
26.             edge[a].push_back(tmp);  
27.             tmp.next = a;  
28.             edge[b].push_back(tmp);  
29.         }  
30.         cin >> stNode >> enNode;  
31.         for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = inf; //注意2，别忘记写此句来初始化dst[]  
32.         for(i = 0; i < edge[stNode].size(); i++){//注意1，从下标0开始存元素，误写成i <= edge[stNode].size()  
33.             dst[edge[stNode][i].next] = edge[stNode][i].len;  
34.             //cout << dst[2] << endl;  
35.             spend[edge[stNode][i].next] = edge[stNode][i].cost;  
36.         }  
37.         memset(book, 0, sizeof(book));  
38.         book[stNode] = 1;  
39.         //开始迪杰斯特拉算法，进行剩余n-1次松弛  
40.         int k;  
41.         for(k = 1; k <= n-1; k++){  
42.             //找离源点最近的顶点u  
43.             int minnode, min = inf;  
44.             for(i = 1; i <= n; i++){  
45.                 if(book[i] == 0 && min > dst[i] /* || min == dst[i]&& edge[stnode][min].cost > edge[stnode][i].cost*/){  
46.                     min = dst[i];  
47.                     minnode = i;  
48.                 }  
49.             }  
50.             //cout << setw(2) << minnode;  
51.             book[minnode] = 1;//易错点1，错写成book[i]=1  
52.             //以中心点u为转折点来更新路径数组和花费数组  
53.             for(i = 0; i < edge[minnode].size(); i++){  
54.                 int t = edge[minnode][i].next;//别忘了加此句，表示与结点minnode相邻的点  
55.                 if(book[t] == 0 && dst[t] > dst[minnode] + edge[minnode][i].len || dst[t] == dst[minnode] + edge[minnode][i].len && spend[t] > spend[minnode] + edge[minnode][i].cost){  
56.                     dst[t] = dst[minnode] + edge[minnode][i].len;  
57.                     spend[t] = spend[minnode] + edge[minnode][i].cost;  
58.                 }  
59.             }  
60.         }  
61.         cout << dst[enNode] << setw(3) << spend[enNode] << endl;  
62.     }  
63.     return 0;  
64. }  

程序运行结果如下：

使用邻接表时，注意更新dst[]，book[]时要使用邻接表元素对应下标中的next成员，而涉及到权值加减时时需要使用邻接表中的对应下标来取得权值；而使用邻接矩阵就没这么多顾虑了，因为这时候邻接矩阵对应下标和dst[]要更新元素的下标正好一致，都是从1开始编号。

4），Bellman-Ford算法(解决负权边，解决单源最短路径，前几种方法不能求含负权边的图)：：时间复杂度O(nm),空间复杂度O(m)
主要思想：对所有的边进行n-1轮松弛操作，因为在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1边。换句话说，第1轮在对所有的边进行松弛后，得到的是从1号顶点只能经过一条边到达其余各定点的最短路径长度。第2轮在对所有的边进行松弛后，得到的是从1号顶点只能经过两条边到达其余各定点的最短路径长度，......
以下是图示：

此外，Bellman_Ford还可以检测一个图是否含有负权回路：如果在进行n-1轮松弛后仍然存在dst[e[i]] > dst[s[i]]+w[i]。算法核心代码如下：

[cpp] view plain copy

1. #define inf 999999999  
2. for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = inf;  
3. dst[1] = 0;  
4. for(k = 1; k <= n-1; k++){  
5.     for(i = 1; i <= m; i++){  
6.         if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
7.             dst[e[i]] = dst[s[i]] + w[i];  
8.     }  
9. }  
10. //检测负权回路  
11. flag = 0;  
12. for(i = 1; i <= m; i++){  
13.     if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
14.         flag = 1;  
15. }  
16. if(flag) cout << "此图含有负权回路";  

例1：对图示中含负权的有向图，输出从结点1到各结点的最短路径，并判断有无负权回路。

[cpp] view plain copy

1. /***先输入n，m，分别表结点数和边数，之后输入m个三元组，各表起点，终点，边权，输出1号结点到各结点的最短路径****/  
2. #include <iostream>  
3. #include <iomanip>  
4. using namespace std;  
5. #define nmax 1001  
6. #define inf 99999999  
7. int n, m, s[nmax], e[nmax], w[nmax], dst[nmax];  
8. int main(){  
9.     while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){  
10.         int i, j;  
11.         //初始化三个数组：起点数组s[],终点数组e[],权值数组w[],最短路径数组dst[]  
12.         for(i = 1; i <= m; i++)  
13.             cin >> s[i] >> e[i] >> w[i];  
14.         for(i = 1; i <= n; i++)  
15.             dst[i] = inf;  
16.         dst[1] = 0;  
17.         //使用Bellman_Ford算法  
18.         for(j = 1; j <= n-1; j++){  
19.             for(i = 1; i <= m; i++){  
20.                 if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
21.                     dst[e[i]] = dst[s[i]] + w[i];  
22.             }  
23.         }  
24.         //测试是否有负权回路并输出  
25.         int flag = 0;  
26.         for(i = 1; i <= m; i++)  
27.             if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
28.                 flag = 1;  
29.         if(flag) cout << "此图含有负权回路\n";  
30.         else{  
31.             for(i = 1; i <= n; i++){  
32.                 if(i == 1)  
33.                     cout << dst[i];  
34.                 else   
35.                     cout << setw(3) << dst[i];  
36.             }  
37.             cout << endl;  
38.         }  
39.     }  
40.     return 0;  
41. }  

程序运行结果如下：