分治---线性时间选择

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线性时间选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序的）。

       1、随机划分线性选择

       线性时间选择随机划分法可以模仿随机化快速排序算法设计。基本思想是对输入数组进行递归划分，与快速排序不同的是，它只对划分出的子数组之一进行递归处理。

程序解释：利用随机函数产生划分基准，将数组a[p:r]划分成两个子数组a[p:i]和a[i+1:r]，使a[p:i]中的每个元素都不大于a[i+1:r]中的每个元素。接着"j=i-p+1"计算a[p:i]中元素个数j.如果k<=j，则a[p:r]中第k小元素在子数组a[p:i]中，如果k>j，则第k小元素在子数组a[i+1:r]中。注意：由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素，因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。

      在最坏的情况下，例如：总是找到最小元素时，总是在最大元素处划分，这是时间复杂度为O(n^2)。但平均时间复杂度与n呈线性关系，为O(n)

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cstdlib>#include <ctime>using namespace std;void Swap(int &x,int &y){    int temp = x;    x = y;    y = temp;}inline int Random(int x, int y){     srand((unsigned)time(0));     int ran_num = rand() % (y - x) + x;     return ran_num;}int Partition(int r[],int s,int t){    int x=r[s];//选r[s]为基准    int i=s,j=t;    while(i<j)    {        while(i<j&&r[j]>=x) j--;        if(i<j) r[i]=r[j];        while(i<j&&r[i]<=x) i++;        if(i<j) r[j]=r[i];    }    r[i]=x;//基准放到正确位置    for(int i=s;i<=t;i++) cout<<r[i]<<' ';    cout<<endl;    return i;//基准位置}int RandomizedPartion(int a[],int s,int t){    int i=Random(s,t);    Swap(a[i],a[s]);    return Partition(a,s,t);}template <class Type>Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k){  //a[p:r]中找第k小元素    if(p == r)        return a[p];    int i = RandomizedPartion(a,p,r);    int j = i - p + 1;    if(k <= j)        return RandomizedSelect(a,p,i,k);    else    {        //由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素        //因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。        return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);    }}void RandomizedQuickSort(int r[],int first,int end){    if(first<end)    {        int pivot=RandomizedPartion(r,first,end);        RandomizedQuickSort(r,first,pivot-1);        RandomizedQuickSort(r,pivot+1,end);    }}int a[] = {49,38,65,97,76,13,27,49};int main(){    for(int i=0; i<8; i++)    {        cout<<a[i]<<" ";    }    cout<<endl;    cout<<RandomizedSelect(a,0,7,2)<<endl;}

 中位数：是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。

      算法思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，当ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。

     实现步骤：

      (1)将所有的数n个以每5个划分为一组共组，将不足5个的那组忽略，然后用任意一种排序算法，因为只对5个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了。将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到个中位数。

      (2)取这个中位数的中位数，如果是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个作为划分基准。

      (3)将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。在这种情况下找出的基准x至少比个元素大。因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，有个小于基准，中位数处于，即个中位数中又有(n/5-1)/2=个小于基准x。因此至少有个元素小于基准x。同理基准x也至少比个元素小。而当n≥75时≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。

      

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cstdlib>#include <ctime>using namespace std;template <class Type>void Swap(Type &x,Type &y);inline int Random(int x, int y);void BubbleSort(int r[],int s,int t);template <class Type>int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);template <class Type>Type Select(Type a[],int p,int r,int k);int main(){    //初始化数组    int a[100];    //必须放在循环体外面    srand((unsigned)time(0));    for(int i=0; i<100; i++)    {        a[i] = Random(0,500);        cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";    }    cout<<endl;    cout<<"第83小元素是"<<Select(a,0,99,83)<<endl;    //重新排序，对比结果    BubbleSort(a,0,99);    for(int i=0; i<100; i++)        cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";    cout<<endl;}template <class Type>void Swap(Type &x,Type &y){    Type temp = x;    x = y;    y = temp;}inline int Random(int x, int y){     int ran_num = rand() % (y - x) + x;     return ran_num;}void BubbleSort(int r[],int s,int t){//对r[s:t]排序    int exchange=t;    while(exchange)    {        int bound=exchange;//上次交换的位置        exchange=0;        for(int j=s;j<bound;j++)//只需比较到上次最后发生交换的位置        {            if(r[j]>r[j+1])            {                int temp=r[j];                r[j]=r[j+1];                r[j+1]=temp;                exchange=j;//最终记录最后一次交换的位置                //j是无序区最后一个数的位置            }        }    }}template <class Type>int Partition(Type s[],int l,int r,Type x)//快速排序中的一次划分{    int i = l - 1,j = r + 1;    while(true)    {        while(s[++i]<x && i<r);        while(s[--j]>x);        if(i>=j)        {            break;        }        Swap(s[i],s[j]);    }    return j;}template <class Type>Type Select(Type a[],int p,int r,int k){    if(r-p<75)    {        BubbleSort(a,p,r);        return a[p+k-1];    }    //r-p-4相当于n-5    for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)    {        //将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置        //使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数        BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);//将每一组的5个元素排序        cout<<"第"<<i<<"组中位数："<<a[p+5*i+2]<<endl;        Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);    }    //找中位数的中位数    Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);    cout<<"中位数的中位数x="<<x<<endl;    int i = Partition(a,p,r,x);    int j = i-p+1;    if(k<=j)        return Select(a,p,i,k);    else        return Select(a,i+1,r,k-j);}

代码中的中位数的中位数x并非真正意义上的中位数：

若中位数有奇数个，即共分奇数个组，代码中x是比中位数小的那个数；若中位数有偶数个，即共分偶数个组，代码中的x是比中间两个数小的那个数。