Prim算法

prim算法

prim算法是图论中的一种算法，可在加权联通图里搜索最小生成树。

基本思想

首先介绍一下最小生成树(Minimum Spanning Trees 简称 MST)：
假设定义一个图G=(V,E)，其中G表示图，V表示定点集合，E表示边集合。最小生成树就是这样一棵树，它满足：

通俗的讲，就是使得图G联通时，所选取的边的长度最小

如上图，标红的路径就是最小生成树上的路径。

算法描述：

prim算法采用贪心策略:把点分成两个集合，**A**为已被处理（已经在最小生成树中）的顶点，**B**为待处理顶点。每次操作都是选择min{w(u,v)|u∈A,v∈B}，从而将v添加到A中，直到所有点都处理完为止。上述过程即可生成MST，即证明：每次选择的A，B通过权重最小的边(u,v)相连，最终一定会得到MST。现在假设不选择(u,v)而选择(u',v')而得到了更优的最小生成树（这里w(u,v) < w(u',v'))，则证明通过这种选择方式选择出的树不是MST即可。证明很简单，只需要将(u',v')去掉，补上(u,v)。这不影响A,B的连通性，这样会得到一个比上述假设更优的MST，因此上面的的假设不成立，从而推翻假设，证明prim算法具有最优子结构。

引用维基百科的证明过程：

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已知图G的边数量为numEdge, 顶点数量为numVert, prim生成的树为T0, 最小生成树（MST）为Tmin

则有，cost(Tmin)<=cost(T0)

设： T0 的 numVert-1 条边按照权重由小到大排列依次为：ek1, ek2, ek3, …, ekn

Tmin 的 numVert-1 条边按照权重由小到大排列依次为：eg1, eg2, eg3, …, egn

其中n=numVert-1

两棵树的边从小到大权重比较，设第一个属于 T0 但不属于 Tmin 的边为 ed1, 连接该边的两个顶点为(vs, ve1)

同时存在第一个属于 Tmin 但不属于 T0 的边为 ed2, 连接该边的两个顶点为 (vs, ve2)。

两个边的起点相同。由Prim算法性质可知，w(ed2) >= w(ed1)

此时，在 Tmin 中删除 ed2 ，添加 ed1，边的数量和顶点数量均不变，且不存在环，因此得到新的生

成树Tnew,且cost(Tmin)>=cost(Tnew)

又因为 Tmin 是MST 所以 cost(Tmin)=cost(Tnew)。

以此类推，cost(Tmin)=cost(T0)

T0是最小生成树， 得证.

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模拟算法过程

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伪代码及算法复杂度分析（引用自算法导论）

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畅通工程:

继续畅通工程Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 21871    Accepted Submission(s): 9356Problem Description省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。现得到城镇道路统计表，表中列出了任意两城镇间修建道路的费用，以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。Input测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( 1< N < 100 )；随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态，每行给4个正整数，分别是两个村庄的编号（从1编号到N），此两村庄间道路的成本，以及修建状态：1表示已建，0表示未建。当N为0时输入结束。Output每个测试用例的输出占一行，输出全省畅通需要的最低成本。Sample Input3 1 2 1 0 1 3 2 0 2 3 4 0 3 1 2 1 0 1 3 2 0 2 3 4 1 3 1 2 1 0 1 3 2 1 2 3 4 1 0Sample Output3 1 0AuthorZJU原题链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1879

代码实现

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;const int MAXN = 105;const int INF = 1e9;vector<pair<int,int> > pMap[MAXN];int prim(int N);int main(){    int N;    while(scanf("%d",&N) && N){        for(int i = 0; i < MAXN; i ++)            pMap[i].clear();        int M = N * (N - 1) /2 ;        int u,v,w,tag;        for(int i = 0; i < M; i ++){            scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&tag);            if(tag){                pMap[u].push_back(make_pair(v,0));                pMap[v].push_back(make_pair(u,0));            }else{                pMap[u].push_back(make_pair(v,w));                pMap[v].push_back(make_pair(u,w));            }        }        cout << prim(N)<<endl;    }    return 0;}int prim(int N){    int nCost = 0;//  vector<int> pMST;    int pCost[MAXN];//  pMST.push_back(1);    pCost[1] = -1;    for(int i = 2; i <= N; i++){        pCost[i] = INF;    }    for(int i = 0; i < pMap[1].size(); i++){        pCost[pMap[1][i].first] = pMap[1][i].second;    }    for(int i = 1; i <= N - 1; i++){        int nVertex = 0, nWeight = INF;        for(int j = 1; j <= N; j++){            if(nWeight > pCost[j] && pCost[j] != -1){                nVertex = j;                nWeight = pCost[j];            }        }        pCost[nVertex] = -1;//      pMST.push_back(nVertex);        nCost += nWeight;        for(int j = 0; j < pMap[nVertex].size(); j++){            if(pCost[pMap[nVertex][j].first] != 0 &&                pCost[pMap[nVertex][j].first] > pMap[nVertex][j].second){                pCost[pMap[nVertex][j].first] = pMap[nVertex][j].second;            }        }    }//  cout << "MST Cost is " << nCost << endl;//  cout << "The vertexs in MST are ";//  for(int i = 0; i < pMST.size(); i++){//        cout << pMST[i] << " ";//    }//  cout << endl;    return nCost;}

引用：
维基百科
算法爱好者—prim算法及其高效实现