Codeforeces

E. Bipartite Segments

分类： data structures dfs and similar

题意： 给你一个无向图，n(1≤n≤3×105) 个点，保证没有偶数环，有 q(1≤q≤3×105) 次询问，每次给出 l r， 问只保留编号 [l,r] 区间的点的边，有多少个区间内点和它们的边构成的图是二分图？

解题思路： 判断一个无向图是否是二分图的重要性质就是——没有奇数度的环！因此，这样考虑，预处理出所有环（因为已经保证了没有偶数度环）的最小编号和最大编号，这个做法很多，类似tarjan的方法是考虑用栈存一下当前的访问的编号，当访问到已经标记的点，则一直退栈同时更新最大值最小值（因为环内元素就是一个双连通分量！），对于每个查询，如果它不包含任何奇数度环，那么答案就是 ∑i=lr(r−i+1)=(r−l+1)⋅(r−l+2)2 ！而如果包含了奇数度环的话，考虑所有包含环的最右边的位置 p(p≤r) ，显然在 [p+1,r] （如果 p+1≤r ）的答案就是前者的情况，而在 [l,p] 则重新考虑。又想，对于每个点 i 维护一个区间 [i,pi] 表示 i 和 i+1 到 pi 之间的点都能构成二分图（这是常用对于每个点满足的性质向两边扩展的贪心思维）,那么对于点 i 为左端点能够构成的二分图个数就是 (pi−i+1) 个！记为 qi，那么结论就来了，对于区间 [l,p] 答案就是 ∑i=lrqi，维护这个区间和可以用线段树…最简单的做法就是维护关于 qi 的后缀和！下面只剩如何求 p 啦，而对于区间 [l,r] ，包含环的最右边位置 p 就是 max{pi}, l≤i,pi≤r ，可以用线段树等数据结构维护，而且容易发现， pi 具有单调性，对于位置 x 如果 px>r 那么 x+1 位置 px+1>r 也显然成立！（根据刚才定义！）那么有一种更简单地写法是直接在区间 [l,r] 内二分 p 的位置！剩下的都是细节了，以上。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 3e5 + 10;vector<int> g[maxn];int vis[maxn];stack<int> S;int p[maxn];ll sum[maxn];void dfs(int u, int fa) {    S.push(u);    vis[u] = 1;    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {        int v = g[u][i];        if (v != fa) {            if (vis[v] == 0) dfs(v, u);            else if (vis[v] == 1) {                int Max = u, Min = u;                while (!S.empty()) {                    int w = S.top(); S.pop();                    Max = max(Max, w); Min = min(Min, w);                    if (w == v) break;                }//                printf("<%d %d\n", Min, Max);                p[Min] = Max;            }        }    }    if (!S.empty() && S.top() == u) S.pop();    vis[u] = 2;}int main() {    int n, m, q;    scanf("%d%d", &n, &m);    for (int i = 1; i <= m; i++) {        int a, b;        scanf("%d%d", &a, &b);        g[a].push_back(b);        g[b].push_back(a);    }    memset(vis, 0, sizeof vis);    for (int i = 1; i <= n + 1; i++) p[i] = n + 1;    for (int i = 1; i <= n; i++) {        if (vis[i] == 0) dfs(i, -1);    }    sum[n + 1] = 0;    for (int i = n; i >= 1; i--) {        p[i] = min(p[i], p[i + 1]);        sum[i] = p[i] - i + sum[i + 1];//        printf("p[%d] %d - sum[%d] %I64d\n", i, p[i], i, sum[i]);    }    scanf("%d", &q);    while (q--) {        int l, r;        scanf("%d%d", &l, &r);        int L = l, R = r, P = l;        while (L <= R) {            int m = L + R >> 1;            if (p[m] <= r) L = m + 1;            else {                P = m;                R = m - 1;            }        }        printf("%I64d\n", sum[l] - sum[P] + 1LL * (r - P + 2) * (r - P + 1) / 2);    }    return 0;}