后缀数组

简要

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后缀数组是处理字符串的有力工具。后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也并不逊色，而且它比后缀树所占用的内存空间小很多。可以说，在信息学竞赛中后缀数组比后缀树要更为实用。本文分两部分。第一部分介绍两种构造后缀数组的方法，重点介绍如何用简洁高效的代码实现，并对两种算法进行了比较。第二部分介绍后缀数组在各种类型题目中的具体应用

一些定义

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（1） 子串：字符串 S 的子串 r[i..j]，i≤j，表示 r 串中从 i 到 j 这一段，也就是顺次排列 r[i],r[i+1],…,r[j]形成的字符串。
（2）后缀：后缀是指从某个位置 i 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串 r 的 从 第 i 个 字 符 开 始 的 后 缀 表 示 为 Suffix(i) ， 也 就 是Suffix(i)=r[i..len(r)]。
（3）大小比较：关于字符串的大小比较，是指通常所说的“字典顺序”比较，也就是对于两个字符串u、v，令i从1开始顺次比较u[i]和[i]，如果u[i]=v[i]则令 i 加 1，否则若 u[i]<v[i]则认为 <v，u[i]>v[i]认为 u>v
（也就是 v<u，比较结束。如果 i>len(u)或者 i>len(v)仍比较不出结果，那么 若 len(u)<len(v) 则 认 为 u<v ， 若 len(u)=len(v) 则 认 为 u=v ， 若len(u)>len(v)则 u>v。
从字符串的大小比较的定义来看，S 的两个开头位置不同的后缀 u 和 v 进行比较的结果不可能是相等，因为 u=v 的必要条件 len(u)=len(v)在这里不可能满足。
（4）后缀数组： 后缀数组 SA 是一个一维数组，它保存 1..n 的某个排列 SA[1] ，
SA[2]，……，SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i]) < Suffix(SA[i+1])，1≤i<n 。也就是将 S 的 n 个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入 SA 中。
（5）名次数组：名次数组 Rank[i]保存的是 Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次 ” 。

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简单的说，后缀数组是“排第几的是谁？ ” ，名次数组是“你排第几？ ” 。 容易看出，后缀数组和名次数组为互逆运算。如图 所示。

设字符串的长度为 n。为了方便比较大小，可以在字符串后面添加一个字符,这个字符没有在前面的字符中出现过，而且比前面的字符都要小。在求出名次数组后，可以仅用 O(1)的时间比较任意两个后缀的大小。在求出后缀数组或名次数组中的其中一个以后，便可以用 O(n)的时间求出另外一个。任意两个后缀如果直接比较大小，最多需要比较字符 n 次，也就是说最迟在比较第 n 个字符时一定能分出“胜负 ”。

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注

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SA[] :第几名是谁
后缀数组：后缀数组 SA 是一个一维数组， 它保存 1..n 的某个排列 SA[1] ，SA[2]，……，SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i]) < Suffix(SA[i+1])，1≤i<n 。也就是将 S 的 n 个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入 SA 中。
Rank[] 谁是第几名名次数组：名次数组 Rank[i]保存的是 Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次 ” 。
r[]:原始数据j当前字符串的长度,每次循环根据2个j长度的字符串的排名求得2j长度字符串的排名.
y[]:指示长度为2j的字符串的第二关键字的排序结果,通过存储2j长字符串的第一关键字的下标进行指示.
wv[]:2j长字符串的第一关键字的排名序号.
ws[]:计数数组,计数排序用到.
x[]:一开始是原始数据r的拷贝(其实也表示长度为1的字符串的排名),之后表示2j长度字符串的排名.
p:不同排名的个数.
Heigth[i] : 表示Suffix[SA[i]]和Suffix[SA[i - 1]]的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀

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基数排序

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1.对长度为1的字符串进行排序

for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;

①用的是基数排序，也可以使用其它的排序
②r[]存储原本输入的字符串，x[]是对r[]的ASCII呈现（便于排序）
③m是一个估计数字，代表ASCII最大值，在循环中做边界
④n在这里是字符串的长度+1，后面的加加减减有所体现（貌似不介意直接用字符串的长度）
⑤最后一行比较难懂，但实践证明它确实是正确的，sa[i]=j表示第i名是j。
ws[i]是对第i及之前字符出现次数的累加，越往后ws[i]越大，而且对应的字符数值越大，举个例子，如果某一字符串为aaabaa，则a出现的次数为5，b出现的次数为1，按上述原理，可以看做ws[a]=5，ws[b]=6，固然a都在前5名，b在第六名。

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2.进行若干次基数排序
因为前面排序的名次可能有重复，所以要再进行若干次，直到所有的名次都不再相同

for(j=1,p=1; p<n; j*=2,m=p){      for(p=0,i=n-j; i<n; i++) y[p++]=i;      for(i=0; i<n; i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;      for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]];      for(i=0; i<m; i++) Ws[i]=0;      for(i=0; i<n; i++) Ws[wv[i]]++;      for(i=1; i<m; i++) Ws[i]+=Ws[i-1];      for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--Ws[wv[i]]]=y[i];      for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i<n; i++)           x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;}

相对于上面函数的第一步来说，这一坨代码更加复杂了
①从最外层循环可以看出，j是处于倍增状态的，代表正在比较的每一小段字符串的长度
②循环内的第一行，循环了j-1次，是对后面几个数的提前处理（其第二关键字都为0）
如图

即所有加0的数
③第二行，再翻上去看一眼sa的作用。首先要明白这一行抛弃了一些东西，

由于是对第二关键字的排序，第一关键字先不看，所以有一条件if(sa[i]>=j)
这条语句后面y[p++]=sa[i]-j，要减去j也是因为这个
到这里，第二关键字的排序就完成了

④开始第一关键字的排序
假设需要排序的数为92 71 10 80 63 90
那么y[]=3 4 6 2 1 5 即对第二关键字排序后名次递增所对应的序号
x[]=10 80 90 71 92 63 即对第二关键字排序的结果
for(i=0;i<n;i++)wv[i]=x[y[i]];
将x[]数组拷贝到wv[]中
⑤剩下的基数排序就与对长度为1的字符串进行排序一样了