信号处理中，为什么要引入复数

    最近做相关滤波跟踪遇到了瓶颈，所以想重新把基础知识梳理一遍。

      看了不少解释，我的理解是，在信号处理中采用复信号表示法主要是为了数学处理的方便，因为若采用实信号表示法，当对信号进行处理时，将会产生大量的“交叉项”，这会给系统的分析带来一定的复杂性，而这个问题通过采用复信号表示法可以得到减轻，而且由于复信号的实部和虚部正好与接收机中的同相支路（I）和正交支路（Q）相对应，所以在系统中采用复信号表示法就是很自然的事。实信号的频谱是双边对称的，也就是说存在着负的频率，但是实际上负频率也是不存在的，而解析的复信号的频谱恰恰就是只有正频率的。

      为了得到与某个实信号相对应的复信号，可以通过将实信号的正频率谱加倍，并令负频率谱等于零而得到，而这个过程的实际工程实现是通过希尔伯特变换进行的，这样的复信号是解析的。

      从信号与系统的角度，我认为这样理解也不错：

      求系统的响应必须要要输入信号与系统进行卷积;为了简化和便于数值处理，人们就需要寻找一类特殊的基本单元信号，这类特殊的信号有两大特点：

（1）、可表达普遍的信号

（2）、此类信号的响应较为简单;经过寻找，发现指数形式的信号很适合做这类基本单元信号;它的响应是常值与指数的积;并且，此类信号可表示大量的信号;

关键是要把普通的实信号表示成为指数形式，也需要引入虚数的概念（Euler公式）。

      将实信号通过希尔伯特变换变换成复信号，一方面去掉了原实信号的负频率项，但并不会损失信息，因为正负频率项是对称的。另一方面，这种只保留正频率项的做法有利于消除信号运算中产生的大量“交叉项”。