模板-最短路//spfa

    求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 
    SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
    从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。 
    很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

    简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）：
    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 
    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 
    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：



和广搜bfs的区别：

    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

对算法描述

void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离    for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离，不在队列    dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0    vis[s]=true; //源点s入队列    head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值    while head<tail do {       head+1;  //队首出队       v=q[head];  //队首结点v       vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队       for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边    if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质 dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列    } 

最短路径本身怎么输出？
    在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？
    我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。
    如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了： 

void printpath(int k){if (path[k]!=0) printpath(path[k]);cout << k << ' ';}

最后上完整代码（邻接表）

#include<bits/stdc++.h> #define mmp memset using namespace std;const int maxn=10005;int cnt,st,ed,s,t,w,h[maxn],dis[maxn];int stak[10005];int q[maxn];struct Node{    int to,w,next;}edge[maxn];void add(int s,int t,int v);void spfa();int main(){    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=m;i++){        scanf("%d%d%d",&s,&t,&w);        add(s,t,w);//建表     }    scanf("%d%d",&st,&ed);//起点，终点     mmp(dis,1,sizeof dis);    dis[st]=0;    spfa();    cout<<dis[ed]<<endl;}void add(int s,int t,int v){//邻接表     cnt++;    edge[cnt].to=t;//到达的点     edge[cnt].w=v;//边权    edge[cnt].next =h[s];//边     h[s]=cnt;}void spfa(){//spfa最短路     int head=1,tail=1;    q[1]=st;//队首入队     while(head<=tail){        int u=q[head];//头结点         for(int i=h[u];i;i=edge[i].next){//遍历与队首u相连的每一条边             int v=edge[i].to;//到达的点             if(edge[i].w+dis[u]<dis[v]){                dis[v]=edge[i].w+dis[u];//松弛处理                 if(!stak[v]){                    stak[v]=1;//打标记                     tail++;                     q[tail]=v;//入队处理                 }//if             }//if        }//for        head++;         stak[u]=0;//退出栈 ，上次递归标记过     }//while}