人和猴子分配椰子问题

      五男一猴子在一个岛屿上。他们度过了第一晚采收椰子。在夜间，一名男子醒来，并决定拿走他那一份椰子。他分为五个份。椰子剩下来一个，他把它给猴子，然后藏起他的份额，回去睡觉。
      不久另一名男子醒来后，也做了同样的事情。经过划分为5份椰子，剩余一个给猴子，拿走自己的，又回到床上。第三，第四和第五名男子一样。第二天早上，他们都醒了，他们剩下的椰子分成五个平摊。这一次没有椰子被遗留下来的。
      问题要输入一个N，表示椰子个数，让求P，最大的人数能满足这个条件，分P次，每次正好剩一个给猴子，最后一次省的个数正好是人数的倍数

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f(n <0>) = n;
f(n <i+1>,p) = (f(n <i>)-1) * (p-1) / p; 0 <= i < p;
f(n <p>,p) = pm，m 为整数。

消去f(n <p>,p)有
pm = n * ((p-1)/p)^p - Sum( ((p-1)/p)^i, i=1:p)
pm = n * ((p-1)/p)^p + (p - 1)( ((p-1)/p)^p - 1 )

考察 ((p-1)/p)^p 的函数图像可知： 1、p < 5 时导数值很大，增长最快。
2、p >= 4 时，值过 0.3
3、p = 24 时，值过  0.36
4、p 直到百万，值仍不过 0.3679

因此可认为  ((p-1)/p)^p < 0.37，则
pm < 0.37n - 0.63(p-1)

当 m = 1 时，p 最大，有
1.63p < 0.37n + 0.63，忽略常数项
可得 p < 0.227n
所以 p 的取值范围是很小的。事实上，m 可能要比 1 大得多

那我们来看看，当 m = 1 的时候，p 与 n 的关系，这里面 p 与 n 都应是整数
p = 1 : 1 : 3*1e7
则当 p = 2 的时候 n = 11 为整数。也就是说，测试三千万个p，当 m = 1 时，只有 p = 2 n = 11 满足条件
也即 m = 1 只有一个特例成立。

更一般的情况 m > 1，比如说 m = 2 时呢？
可得 p < 0.14n，更小了。
当 m = 2 时，p 与 n 的关系：
p = 1 : 1 : 3*1e7
则当 p = 2, 3, 24283182 时，n = 19, 25, 173742417 为整数。
m = 3 呢？
可得 p < 0.102n，更小。
当 p = 2, 18138042 时，n = 27, 179079202 为整数。
m = 4 呢？
可得 p < 0.0799n，小吧。
当 p = 2, 14384493, 17952777 时，n = 35, 181121042, 226050766 为整数
m = 5 呢？
可得 p < 0.066n
当 p = 2 时，n = 43 为整数
m = 6 呢？
可得 p < 0.056n
当 p = 2、17275954、29680590 时，n = 51、311450436、535080878
m = 7
p < 0.0485n
p = 2、14333173、17300311、26742099 时，n = 59、297359666、358916666、554798405

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不测了，测试中大数多情况 p 为 2 人的居多，或者，岛上有上千万的人分数百亿的椰子……那些椰子放哪儿都是个问题。

 

最后测一个 m = 100

p < 0.0037n，这也太小了吧，千分之三了。

p = 2 4588077 5872121 7366469 9074646 11807665 15939607 18255034 20749254 22115823 22955497 23585595 26559095 27414265 27642455 27929303 29690190

n = 803 1255052379 1606298075 2015071687 2482337469 3229945155 4360223282 4993600150 5675885221 6049705324  6279395176

 

还是有 2 个人的情况。

 

结论：让 p 取到三千万人之内来测满足p与n同为整数的情况。m为最后一次每人分得的椰子数，须为整值。p 为 2 时多。测试给出了几种可能性。由公式可得，p 的遍历范围可以相比n来说很小。有的人从 n - 2 开始遍历，其实，从结果可以看出，几乎99%的情况是在做无用功。

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这是一道ACM题，原贴见

http://topic.csdn.net/u/20090530/10/dc60c446-c153-42e7-a39d-597d1f307773.html

我在原贴的回复中说错了，在此文中更正。

 

测试代码：

>> p = 1 : 1 : 3 * 1e7;>> n = np ( p, 100);>> r = find ( n == round ( n ));>> r>> n(r)// np.mfunction y = np ( x, m ) n = length(x); mm = m + 1; y = zeros ( 1, n ); for i = 1 : 1 : n xx = x ( i ); y(i) = ( mm * xx - 1 ) * (( xx / (xx - 1) )^xx) + 1 - xx; endend