数据结构15————哈夫曼树

一.内容

1.哈夫曼树的定义和原理

2.哈夫曼树的建立

3.哈夫曼编码

4.哈夫曼算法的实现

• 结构体的设计
• 哈夫曼树的建立
• 编码
• 解码
• 带权路径长(WPL)

二.哈夫曼树的定义和原理

1.哈夫曼树的定义及作用

哈夫曼树的又称为最优二叉树,是带权路径最短的树，可用来构造最优编码，常用于数据压缩和信息传递

2.哈夫曼树的相关概念

• 路径:从一个结点到另一个结点之间的分支路径
• 路径长度:从一个结点到另一结点所经过的分支数目
• 结点的权值:树中每个结点所赋予的具有某种实际意义的实数
• 带权路径长度:从树根到某一结点的路径长度与该结点的权的乘积。
• 树的带权路径长度(WPL):树中从根到所有叶子结点的各个带权路径长度之和。

如图所示的树,其WPL=7x4+9x4+5x3+4x2+2x1=89

所以哈夫曼树就是,相同叶子结点所构成的树中，WPL最小的一颗。

三.哈夫曼树的建立

如果给定叶子节点的权值，如何构造出一颗WPL最小的树呢？这个过程就是构造哈夫曼树的过程

1.思想

每次选择节点集合中最小的两个节点，构成一颗树,根节点的权值为两个之和，将根节点加入节点集合，重复上述过程。
形式化表述

1.根据给定的n个权值{w1,w2……wn},构造出n颗二叉树的集合F={T1.T2……Tn},其中每一棵二叉树均只含一个带权值为wi的根节点，其左右子树为空树
2.在F中选择其根节点为权值最小的两颗二叉树，分别作为左右子树构造出一颗新的二叉树。并置这颗新树根节点权值为左右根节点的权值之和。
3.在F中删去这两棵树，同时加入新生成的树
4.重复23过程，直到F中只剩一颗树为止。

2.例

3.如何存储

哈夫曼树的存储可以使用三叉链表和静态三叉链表，为了简单考虑，一般选择静态三叉链表来实现哈夫曼树的存储

4.静态三叉链表实现二叉树的存储

四.哈夫曼编码

我们前文说过，哈夫曼树主要应用是在数据压缩信息传递中，而如何应用哈夫曼树进行数据的压缩，这就涉及到哈夫曼树编码。

1.编码

编码是什么?
举个例子如果我们需要通过网络传输一段文字；ABCDEFGH，那么很容易想到，让A=000，B=001,C=010,D=011,F=100,G=101,H=111。所以ABCDEFG就可以表示为000.001.010.011.100.101.110.111。通过这个规则，就可以表示ABCDEFG所构成的任意一段文字。文字转换出的二进制就是编码。

上面的编码可以解决大部分的问题，但是否可以进行更好的优化，比如让它编码后的二进制长度尽可能的达到更小。

如何达到呢？我们可以通过让出现频率大的编码尽可能的短，出现概率小的编码啊可以适当的长点。但是存在一个问题，比如说AB出现的频率大，让A=0，B=1，C出现的频率小，让C=01。那么问题来了，01代表AB还是代表C。所以如果要设计长度不等的编码必须满足

任何一个字符编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码就是前缀编码

2.哈夫曼编码

哈夫曼编码就是一种前缀编码,而且是编码后最短的前缀编码。
哈夫曼树的构建

将每个字符出现的次数作为权值，按照哈夫曼树的构建过程组成的一颗二叉树

哈夫曼编码

从哈夫曼树的根节点出发，左子树输出0，右子树输出1。知道达到叶子节点后停止，此时输出的二进制就是该叶子节点的哈夫曼编码

3.例

五.哈夫曼算法

我的代码设计未舍弃下标为0的位置，所以叶子节点从0开始

1.结构体的设计

#include <stdio.h>#define N 30#define M 2*N-1typedef struct{    int weight;    char data;     int parent,Lchild,Rchild;}HTNode,HuffmanTree[M+1];

2.哈夫曼树的建立

void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht,int n){ //创建哈夫曼树     int m=2*n-1;    int i;    int s1,s2;    for(i=0;i<n;i++){       //初始化叶子节点         scanf("%d",&ht[i].weight);        ht[i].data = 'A'+i;         ht[i].parent=-1;        ht[i].Lchild=-1;        ht[i].Rchild=-1;     }       for(i=n;i<m;i++){   //初始化非叶子节点        ht[i].weight=0;        ht[i].parent=-1;        ht[i].Lchild=-1;        ht[i].Rchild=-1;     }    for(i=n;i<m;i++) //创建哈夫曼树    {        seek(ht,i,&s1,&s2);  //寻找ht中i之前最小的两个元素下标，s1<s2;         ht[s1].parent=i;         ht[s2].parent=i;        ht[i].weight = ht[s1].weight+ht[s2].weight;        ht[i].Lchild = s1;        ht[i].Rchild = s2;    }}void seek(HuffmanTree ht,int n,int *s1,int *s2){  //寻找ht中i之前最小的两个元素下标，s1<s2;     int i,j;    for(i=0;i<n&&ht[i].parent!=-1;i++); //s1,s2的初始化     j=i;    i++;    for(;i<n&&ht[i].parent!=-1;i++);    *s1 = ht[i].weight<ht[j].weight?i:j;    *s2 = ht[i].weight<ht[j].weight?j:i;    i++;    while(i<n){        if(ht[i].parent!=-1){        }else if(ht[i].weight<ht[*s1].weight){            *s2 = *s1;            *s1 = i;        }else if(ht[i].weight<ht[*s2].weight){            *s2 = i;        }        i++;     }}

3.输出所有字符的编码

void codinghuffman(HuffmanTree  ht,int n){ //编码所有的叶子节点     int i,j;    char str[N];    int p,q; //p当前节点，q是p的双亲节点     for(i=0;i<n;i++){        p=i;        for(j=0;ht[p].parent!=-1;j++){                 q=ht[p].parent;            if(p==ht[q].Lchild){ //如果是左节点,则为0                 str[j]='0';            }else{           //如果是右节点,则为1                 str[j]='1';            }            p=ht[p].parent;        }        printf("%c:",ht[i].data); //打印结果         for(j=j-1;j>=0;j--){            printf("%c",str[j],j);        }        printf("\n");    }} 

4.编码字符串

void aCodinghuffman(HuffmanTree ht){ //编码字符串     int i,j;    char in[N];    char str[N];    int p,q;    getchar();    gets(in);       for(i=0;in[i];i++){ //遍历每个字母         p=in[i]-'A'; //确定该叶子节点存储的位置,这句根据具体问题而定         for(j=0;ht[p].parent!=-1;j++){    //解码每个字母             q=ht[p].parent;            if(p==ht[q].Lchild){ //如果是左孩子                 str[j]='0';            }else{            //如果是右孩子                 str[j]='1';            }            p=ht[p].parent;        }         for(j=j-1;j>=0;j--){  //打印结果             printf("%c",str[j],j);        }    }    printf("\n");} 

5.译码

void decodeHuffmanTree(HuffmanTree ht,int n){ //译码     int i,j;    char str[N];    int p=2*n-2; // p当前节点，p当前节点儿子    gets(str);    for(i=0;str[i];i++){        if(str[i]=='1'){            p = ht[p].Rchild;        }else if(str[i]=='0'){            p = ht[p].Lchild;        }        if(ht[p].Lchild==-1&&ht[p].Rchild==-1){  //当前字段解码完毕             printf("%c",ht[p].data);            p =2*n-2;         }    } } 

6.带权路径长(WPL)

int WPL(HuffmanTree ht,int n){    int wpl=0;    int h;    int p;    int i;    for(i=0;i<n;i++){        h=0;        for(p=i;ht[p].parent!=-1;p=ht[p].parent){            h++;        }        wpl = wpl+ h*ht[i].weight;    }    return wpl;}

六.源代码

text15中

参考资料《大话数据结构》《数据结构与算法分析》