第十周 项目3

1.由先序序列和中序序列构造二叉树

• 定理：任何n（n≥0）个不同节点的二叉树，都可由它的中序序列和先序序列唯一地确定。
• 证明（数学归纳法） 
  基础：当n=0时，二叉树为空，结论正确。 
  假设：设节点数小于n的任何二叉树，都可以由其先序序列和中序序列唯一地确定。 
  归纳：已知某棵二叉树具有n（n＞0）个不同节点，其先序序列是a0a1…an−1；中序序列是b0b1…bk−1bkbk+1…bn−1。 
  
  • 先序遍历“根-左-右”，a0必定是二叉树的根节点
  • a0必然在中序序列中出现，设在中序序列中必有某个bk（0≤k≤n−1）就是根节点a0。 
    
  • 由于bk是根节点，中序遍历“左-根-右”，故中序序列中b0b1…bk−1必是根节点bk(a0)左子树的中序序列，即bk的左子树有k个节点，bk+1…bn−1必是根节点bk（a0）右子树的中序序列，即bk的右子树有n−k−1个节点。
  • 对应先序序列，紧跟在根节点a0之后的k个节点a1…ak是左子树的先序序列，ak+1…an−1这n−k−1就是右子树的先序序列。 
    
  • 根据归纳假设，子先序序列a1…ak和子中序序列b0b1…bk−1可以唯一地确定根节点a0的左子树，而先序序列ak+1…an−1和子中序序列bk+1…bn−1可以唯一地确定根节点a0的右子树。
  • 综上所述，这棵二叉树的根节点己经确定，而且其左、右子树都唯一地确定了，所以整个二叉树也就唯一地确定了。

• 例 
  

  根据定理的证明，写出下面的算法。

  品味：以上构造性证明是突出体现计算机科学的案例。计算机学科的精髓就在于制造，即使在“理论性”味道的定理中，其证明过程，给出的就是“存在的这么一个东西”的构造方法。

［参考解答］（btreee.h见算法库）

#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n)/*pre存放先序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数,本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/{    BTNode *s;    char *p;    int k;    if (n<=0) return NULL;    s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));     //创建二叉树结点*s    s->data=*pre;    for (p=in; p<in+n; p++)                 //在中序序列中找等于*ppos的位置k        if (*p==*pre)                       //pre指向根结点            break;                          //在in中找到后退出循环    k=p-in;                                 //确定根结点在in中的位置    s->lchild=CreateBT1(pre+1,in,k);        //递归构造左子树    s->rchild=CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1); //递归构造右子树    return s;}int main(){    ElemType pre[]="ABDGCEF",in[]="DGBAECF";    BTNode *b1;    b1=CreateBT1(pre,in,7);    printf("b1:");    DispBTNode(b1);    printf("\n");    return 0;}
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2.由后序序列和中序序列构造二叉树

• 定理：任何n（n＞0）个不同节点的二叉树，都可由它的中序序列和后序序列唯一地确定。
• 证明：(略) 
  

［参考解答］（btreee.h见算法库）

#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"BTNode *CreateBT2(char *post,char *in,int n)/*post存放后序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数,本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/{    BTNode *s;    char r,*p;    int k;    if (n<=0) return NULL;    r=*(post+n-1);                          //根结点值    s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));     //创建二叉树结点*s    s->data=r;    for (p=in; p<in+n; p++)                 //在in中查找根结点        if (*p==r)            break;    k=p-in;                                 //k为根结点在in中的下标    s->lchild=CreateBT2(post,in,k);         //递归构造左子树    s->rchild=CreateBT2(post+k,p+1,n-k-1);  //递归构造右子树    return s;}int main(){    ElemType in[]="DGBAECF",post[]="GDBEFCA";    BTNode *b2;    b2=CreateBT2(post,in,7);    printf("b2:");    DispBTNode(b2);    printf("\n");    return 0;}
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3.由顺序存储结构转为二叉链存储结构 

［参考解答］（btreee.h见算法库）

#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"#define N 30typedef ElemType SqBTree[N];BTNode *trans(SqBTree a,int i){    BTNode *b;    if (i>N)        return(NULL);    if (a[i]=='#')        return(NULL);           //当节点不存在时返回NULL    b=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建根节点    b->data=a[i];    b->lchild=trans(a,2*i);                 //递归创建左子树    b->rchild=trans(a,2*i+1);               //递归创建右子树    return(b);                              //返回根节点}int main(){    BTNode *b;    ElemType s[]="0ABCD#EF#G####################";    b=trans(s,1);    printf("b:");    DispBTNode(b);    printf("\n");    return 0;}