§第三章第三节线性方程组的解
一、线性方程组解的存在性
定理2.n元齐次线性方程组A m×n x=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n.
证明:先证必要条件.设方程组Ax=0有非零解.(用反证法)假设R(A)=n,则在A中有一个n阶非零子式D n ,从而D n 所对应的n个方程只有零解(根据Cramer法则).这与方程组有非零解相矛盾.因此R(A)=n不成立.故有R(A)<n.再证充分性.设R(A)=r<n,则A的行阶梯形矩阵只含有r个非零行,从而知:其有n−r个自由未知量.任取一个自由未知量为1,其余的未知量都为0,即可得到方程组的一个非零解.
定理3.n元非齐次线性方程组Ax=b有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A|b)的秩.
证明:必要性:设方程组Ax=b有解,要证R(A)=R(B).(反证法)设R(A)<R(B),则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,这与方程组有解矛盾.因此R(A)=R(B).充分性:证明方程组有解.设R(A)=R(B)=r(r≤n),把B化为行阶梯形矩阵,则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行.把这r个非零行的第一个非零元素所对应的未知量作为非自由的未知量,其余n−r个作为自由未知量,并令n−r个自由未知量全取零.即可得方程组的一个解.注意：1)当R(A)=R(B)=n时,方程组没有自由未知量,故只有唯一解.2)当R(A)=R(B)=r<n时,方程组有n−r个自由未知量,故有无穷多解.
二、线性方程组的解法
线性方程组的解题步骤:1)Ax=0只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵,把以行最简形矩阵中非零行的第一个非零元1为系数的未知数留在等号左端,其余的移到等号的右端,再表示成通解.2)Ax=b只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵,由定理3,判断它是否有解.若有解,则对增广矩阵进一步化成行最简形矩阵.把行最简形矩阵中非零行第一个非零元素1为系数的未知数留在等号左端,其余均移到等号右端.再表示成通解.
例1.求解齐次线性方程组
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +2x 2 +2x 3 +x r =02x 1 +x 2 −2x 3 −2x 4 =0x 1 −x 2 −4x 2 −3x 4 =0
解:对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵:A=⎛ ⎝ ⎜ 121 21−1 2−2−4 1−2−3 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 2−3−3 2−6−6 1−4−4 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 2−30 2−60 1−40 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 100 210 220 143 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 100 010 −220 −53 43 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
即得到与原方程组的同解方程组
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 −2x 3 −53 x 4 =0x 2 +2x 3 +43 x 4 =0
即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =2x 3 +53 x 4 x 2 =−2x 3 −43 x 4 x 3 ,x 4 可以任意取值.
令x 3 =k 1 ,x 4 =k 2 ,把它写成参数形式:(k 1 ,k 2 为任意实数)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =2k 1 +53 k 2 x 2 =−2k 1 −43 k 2 x 3 =k 1 x 4 =k 2
其解也可表示为向量形式⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 x 3 x 4 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 2k 1 +53 k 2 −2k 1 −43 k 2 k 1 k 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =k 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2−210 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ +k 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 53 −43 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
例2.求非其次线性方程组
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 −2x 2 +3x 3 −x 4 =13x 1 −x 2 +5x 3 −3x 4 =22x 1 +x 2 +2x 3 −2x 4 =3
解：对增广矩阵B施以行初等变换B=⎛ ⎝ ⎜ 132 −2−11 352 −1−3−2 123 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 −255 3−4−4 −100 1−11 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 −250 3−40 −100 1−12 ⎞ ⎠ ⎟ 可见,R(A)=2,R(B)=3.故方程组无解.
例3.求解非齐次线性方程组
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +x 2 −3x 3 −x 4 =13x 1 −x 2 −3x 3 +4x 4 =4x 1 +5x 2 −9x 3 −8x 4 =0
解:对增广矩阵B施以行初等变换B=⎛ ⎝ ⎜ 131 1−15 −3−3−9 −14−8 140 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−44 −36−6 −17−7 11−1 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−40 −360 −170 110 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 100 110 −3−32 0 −1−74 0 1−14 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 100 010 −32 −32 0 34 −74 0 54 −14 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
同解方程组:
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 −32 x 3 +34 x 4 =54 x 2 −32 x 3 −74 x 4 =−14
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =32 x 3 −34 x 4 +54 x 2 =32 x 3 +74 x 4 −14
令x 3 =k 1 ,x 4 =k 2 ,(k 1 ,k 2 为任意实数)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =32 k 1 −34 k 2 +54 x 2 =32 k 1 +74 k 2 −14 x 3 =k 1 x 4 =k 2
⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 x 3 x 4 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =k 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 32 32 10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ +k 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −34 74 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 54 −14 00 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 其中(k 1 ,k 2 为任意实数)
例4.设有线性方程组
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ (1+λ)x 1 +x 2 +x 3 =0x 1 +(1+λ)x 2 +x 3 =3x 1 +x 2 +(1+λ)x 3 =λ
问λ取何值时,此方程组(1)有唯一解?(2)无解?(3)有无穷多个解?并在有无穷多解时,求其通解.
解:对增广矩阵B作行初等变换:B=⎛ ⎝ ⎜ 1+λ11 11+λ1 111+λ 03λ ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 111+λ 11+λ1 1+λ11 λ30 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1λ−λ 1+λ−λ−λ(λ+2) λ3−λ−λ(λ+1) ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1λ0 1+λ−λ−λ(λ+3) λ3−λ(1−λ)(λ+3) ⎞ ⎠ ⎟ (1)有唯一解,R(A)=R(B)=3λ≠0−λ(3+λ)≠0即λ≠0且λ≠−3时,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解;(2)当λ=0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解;(3)当λ=−3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无穷多解.当λ=−3时,B∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−30 −230 −360 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 110 −2−10 −3−20 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 −1−10 −1−20 ⎞ ⎠ ⎟ 同解方程组为:
{x 1 −x 3 =−1x 2 −x 3 =−2
即{x 1 =x 3 −1x 2 =x 3 −2
另x 3 =k
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 =k−1x 2 =k−2x 3 =k
⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3 ⎞ ⎠ ⎟ =k⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ −1−20 ⎞ ⎠ ⎟ k∈R
