数据结构之查找（六）——平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree），是一种二叉排序树，其中每一个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1。

我们将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF（Balance Factor），那么平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1,0,和1。

距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根子树，我们称为最小不平衡子树。如图：

平衡二叉树实现原理

当最小不平衡子树根结点的平衡因子BF是大于1时，就右旋，小于-1时就左旋；插入结点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要对结点先进行一次旋转以使得符号相同后，再反向旋转一次才能够完成平衡操作。

平衡二叉树的查找时间复杂度为O(logn），而插入和删除也为O(logn）。

这是比较理想的一种动态查找表算法。

平衡二叉树实现算法

#include "stdio.h"    #include "io.h"  #include "math.h"  #include "time.h"#include "stdafx.h"#include "stdlib.h"   #define OK 1#define ERROR 0#define TRUE 1#define FALSE 0#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */typedef int Status;/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 *//* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */typedef  struct BiTNode/* 结点结构 */{int data;/* 结点数据 */int bf; /*  结点的平衡因子 */struct BiTNode *lchild, *rchild;/* 左右孩子指针 */} BiTNode, *BiTree;/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， *//* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */void R_Rotate(BiTree *P){BiTree L;L = (*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */(*P)->lchild = L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */L->rchild = (*P);*P = L; /*  P指向新的根结点 */}/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， *//* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */void L_Rotate(BiTree *P){BiTree R;R = (*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */(*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */R->lchild = (*P);*P = R; /*  P指向新的根结点 */}#define LH +1 /*  左高 */ #define EH 0  /*  等高 */ #define RH -1 /*  右高 */ /*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 *//*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */void LeftBalance(BiTree *T){BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */switch (L->bf){ /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */(*T)->bf = L->bf = EH;R_Rotate(T);break;case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */Lr = L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */switch (Lr->bf){ /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */case LH: (*T)->bf = RH;L->bf = EH;break;case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;break;case RH: (*T)->bf = EH;L->bf = LH;break;}Lr->bf = EH;L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */}}/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， *//*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */void RightBalance(BiTree *T){BiTree R, Rl;R = (*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */switch (R->bf){ /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */(*T)->bf = R->bf = EH;L_Rotate(T);break;case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */Rl = R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */switch (Rl->bf){ /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */case RH: (*T)->bf = LH;R->bf = EH;break;case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;break;case LH: (*T)->bf = EH;R->bf = RH;break;}Rl->bf = EH;R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */}}/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 *//*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 *//*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller){if (!*T){ /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));(*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;*taller = TRUE;}else{if (e == (*T)->data){ /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */*taller = FALSE; return FALSE;}if (e<(*T)->data){ /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /*  未插入 */return FALSE;if (*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */{case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */LeftBalance(T);*taller = FALSE; break;case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */(*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break;case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;}}else{ /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /*  未插入 */return FALSE;if (*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */{case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */(*T)->bf = EH; *taller = FALSE;break;case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */(*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break;case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */RightBalance(T); *taller = FALSE; break;}}}return TRUE;}int main(void){int i;int a[10] = { 3,2,1,4,5,6,7,10,9,8 };BiTree T = NULL;Status taller;for (i = 0; i<10; i++){InsertAVL(&T, a[i], &taller);}printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");return 0;}