最大上升子序列,最大下降子序列,最大非增子序列,最大非减子序列
来源:互联网 发布:知乎怎么添加回答 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 00:25
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最大上升子序列,最大下降子序列,最大非增子序列,最大非减子序列
For example,{1,5,2,4,3,5,6,4,7}的最大上升子序列是{1,2,3,5,6,7}长度为6
现已知原序列a[],如何求其最大上升子序列,最大下降子序列,最大非增子序列,最大非减子序列的长度?
下面贴出两种方法:1.dp, 2.贪心+二分
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using
namespace
std;
#define maxn 1000
const
int
inf=1<<30;
int
a[maxn];
//原序列
int
dp[maxn];
//dp[i]代表以a[i]结尾的最大非增子序列
int
lnip1(
int
n)
//动态规划,时间复杂度O(n2)
{
for
(
int
i=0;i<n;i++)
dp[i]=1;
for
(
int
i=1;i<n;i++)
{
for
(
int
j=0;j<i;j++)
{
if
(a[j]>=a[i])
//最大非增子序列,若改为a[j]>a[i],即为最大递减子序列
{
dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
}
}
}
int
ans=0;
for
(
int
i=0;i<n;i++)
{
ans=max(ans,dp[i]);
}
return
ans;
}
int
b[maxn];
//b[k] 记录前i个数中的长度为k的所有子序列中最后一位最小的值,b数组一定有序
int
lndp(
int
n)
//最大非递减子序列长度,时间复杂度O(nlogn)
{
for
(
int
i=0;i<=n+1;i++)
b[i]=inf;
for
(
int
i=0;i<n;i++)
{
int
pos=lower_bound(b,b+i+1,a[i])-b;
//如果是严格递增(lip)用upper_bound
b[pos]=a[i];
}
int
ans;
for
(ans=0;b[ans]!=inf;ans++);
return
ans;
//如果题目要求求最大非递增子序列(lnip)长度,只需先把数组反过来,再求lndp即可,最大递减类似
}
int
main()
{
int
n;
cin>>n;
for
(
int
i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
cout<<lnip1(n)<<endl;
cout<<lndp(n);
}
第一种方法比较简单,不做过多详解_
下面详解第二种贪心+二分,时间复杂度位O(nlongn)的算法(注意:下面以严格上升子序列为例,请把上面代码中的lower_bound换成upper_bound):
首先,
b[maxn] b[k] 记录前i个数中的长度为k+1的所有上升子序列中最后一位最小的值
记录下最后一位最小的值,是为了能有更大的上升空间
比如序列{1,3,2,3,4}
前三个数{1,3,2}中长度为2的上升子序列有{1,3}和{1,2},分别对应的b[1](长度为1+1=2的上升子序列的最后一位的值)为3,2,明显,选2这个较小的可以给后面的序列留下更多的上升空间,选2可以是{1,2,3,4}而选3只能是{1,3,4},b[k]的值尽可能小,
这就是其贪心的思想
b数组一定是严格上升的,因为长度为i的最后一位最优不可能比长度为i-1的最后一位小。
既然b数组是有序的,接下来就能用二分的方法了
先将b的元素最大化,然后将将原序列a的元素一个一个插入到b中合适的位置--b中第一个大于a[i]的位置,这样如果a[i]能够大于b[k]说明a[i]能够放在b[k](其实是b[k]的值对应的原序列元素)的后面,而到了第一个大于a[i]的位置,
假设那个位置x上的的值为y(y可以为inf),a[x]=y>a[i],再根据上面贪心的思想,何不把结尾换为更小的值a[i]呢,即b[x]=a[i];
这样插入完所有的a[i](其实就是将a[i]插在能以它为结尾的最大子序列长度的位置上),一重循环到最后一个b[i]!=inf,然后这个i+1就是最大上升子序列的长度
接下来再以{1,5,2,4,3,5,6,4,7}为例,画个图让大家理解理解:
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