bzoj1452 [JSOI2009]Count

【题意】
给一个n*m的区间，区间中的每一个格子都有一个数。
指令1：把(x,y)的格子的数字改为c；
指令2：求以(x1,y1)为左上角且以(x2,y2)为右下角的矩阵中数字为c的个数。

【我的想法】
线段树
每一行有一棵线段树，仅仅统计改行的情况。
求解时，逐行询问其解，累加。
因为每行长度相等，所以对应位置的线段树编号相同。可以在求到一个编号时对x1-x2行的该位置的线段树相加，减少搜寻时间。


【超时代码】

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std; int a[310];struct node{    int l,r,lc,rc,c[110];    int find()    {        for(int i=1;i<=100;i++)        {            if(c[i]) return i;        }    }    void clean()    {        memset(c,0,sizeof(c));    }}tr[310][310];int len; int build(int u,int l,int r){    int x=++len;    tr[u][x].l=l;tr[u][x].r=r;    if(l<r)    {        int lc,rc,mid;        mid=(l+r)/2;        lc=build(u,l,mid);        rc=build(u,mid+1,r);        tr[u][x].lc=lc;tr[u][x].rc=rc;        for(int i=1;i<=100;i++) tr[u][x].c[i]=tr[u][lc].c[i]+tr[u][rc].c[i];    }    else if(l==r)    {        tr[u][x].clean();        tr[u][x].c[a[l]]=1;        tr[u][x].lc=tr[u][x].rc=0;    }    return x;} int cc;void change(int u,int x,int p,int c){    if(tr[u][x].l==tr[u][x].r)    {        cc=tr[u][x].find();        tr[u][x].clean();        tr[u][x].c[c]=1;        return ;    }    int lc,rc,mid;    mid=(tr[u][x].l+tr[u][x].r)/2;    lc=tr[u][x].lc;rc=tr[u][x].rc;    if(p<=mid) change(u,lc,p,c);    else change(u,rc,p,c);    tr[u][x].c[cc]--;    tr[u][x].c[c]++;} int ask(int u,int x,int l,int r,int c,int l2,int r2){    if(tr[u][x].l==l&&tr[u][x].r==r)    {        int sum=0;        for(int i=l2;i<=r2;i++) sum+=tr[i][x].c[c];        return sum;    }    int lc,rc,mid;    mid=(tr[u][x].l+tr[u][x].r)/2;    lc=tr[u][x].lc;rc=tr[u][x].rc;    if(r<=mid) return ask(u,lc,l,r,c,l2,r2);    else if(mid+1<=l) return ask(u,rc,l,r,c,l2,r2);    else return ask(u,lc,l,mid,c,l2,r2)+ask(u,rc,mid+1,r,c,l2,r2);} int main(){    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=m;j++)        {            scanf("%d",&a[j]);        }        len=0;        build(i,1,m);    }         int q;    scanf("%d",&q);    while(q--)    {        int opt;        scanf("%d",&opt);        if(opt==1)        {            int x,y,c;            scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);            change(x,1,y,c);        }        else        {            int x1,x2,y1,y2,c,ans=0;            scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&x2,&y1,&y2,&c);            ans+=ask(1,1,y1,y2,c,x1,x2);            printf("%d\n",ans);        }    }    return 0;}

【优化与正解】
树状数组
开三维树状数组s[i][j][c]表示以(i,j)为末尾的矩阵中颜色为c的有多少个。
当求答案以(x1,y1)(x2,y2)的矩阵时，用(x2,y2)+(x1-1,y1-1)-(x1-1,y2)-(x2,y1-1)来求解。


【代码】

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int n,m;int a[310][310];int s[310][310][110];int lowbit(int x){return x&-x;}void add(int x,int y,int c,int d){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)){s[i][j][c]+=d;}}}int get_sum(int x,int y,int c){int sum=0;for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j)){sum+=s[i][j][c];}}return sum;}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&a[i][j]);add(i,j,a[i][j],1);}}int q;scanf("%d",&q);while(q--){int opt;scanf("%d",&opt);if(opt==1){int x,y,c;scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);add(x,y,a[x][y],-1);a[x][y]=c;add(x,y,a[x][y],1);}else{int x1,x2,y1,y2,c;scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&x2,&y1,&y2,&c);int ans=get_sum(x2,y2,c)+get_sum(x1-1,y1-1,c);ans-=get_sum(x1-1,y2,c)+get_sum(x2,y1-1,c);printf("%d\n",ans);}}return 0;}

【思考】：为什么不能用线段树替代树状数组呢?
树状数组比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。
线段树可以在O(log(N))时间复杂度内寻找区间极值和区间和，线段树的创建时间复杂度为O(log(N))，空间复杂度为O(>=2n-1)；树状数组可以在O(log(N))的时间复杂度内计算区间极值和区间和，树状数组的创建时间复杂度为O(Nlog(N))，空间复杂度为O(N)。补充：线段树求解的区间是任意的，越界也无所谓，但是树状数组求解的区间必须是从1开始的合法区间。

综上所述：能用树状数组时用树状数组，线段树的适用范围更广。