Tarjan算法解强连通分量
来源:互联网 发布:程序员的技术栈 编辑:程序博客网 时间:2024/06/12 20:11
Tarjan 算法
一.算法简介
Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法,它能做到线性时间的复杂度。
我们定义:
如果两个顶点可以相互通达,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
例如:在上图中,{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 } , { 6 } 三个区域可以相互连通,称为这个图的强连通分量。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
再Tarjan算法中,有如下定义。
DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)
LOW[ i ] : 为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号
当DFN[ i ]==LOW[ i ]时,为i或i的子树可以构成一个强连通分量。
二.算法图示
以1为Tarjan 算法的起始点,如图
顺次DFS搜到节点6
回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] , LOW[ 6 ]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通分量。回溯至3节点,拓展节点4.
拓展节点1 , 发现1再栈中更新LOW[ 4 ],LOW[ 3 ] 的值为1
回溯节点1,拓展节点2
自此,Tarjan Algorithm 结束,{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 } , { 6 } 为图中的三个强连通分量。
不难发现,Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).
#define M 5010//题目中可能的最大点数int STACK[M],top=0;//Tarjan算法中的栈bool InStack[M];//检查是否在栈中int DFN[M];//深度优先搜索访问次序 int Low[M];//能追溯到的最早的次序int ComponentNumber=0;//有向图强连通分量个数int Index=0;//索引号vector<int> Edge[M];//邻接表表示vector<int> Component[M];//获得强连通分量结果int InComponent[M];//记录每个点在第几号强连通分量里int ComponentDegree[M];//记录每个强连通分量的度 void Tarjan(int i){ int j; DFN[i]=Low[i]=Index++; InStack[i]=true;STACK[++top]=i; for (int e=0;e<Edge[i].size();e++) { j=Edge[i][e]; if (DFN[j]==-1) { Tarjan(j); Low[i]=min(Low[i],Low[j]); } else if (InStack[j]) Low[i]=min(Low[i],DFN[j]); } if (DFN[i]==Low[i]) { ComponentNumber++; do{ j=STACK[top--]; InStack[j]=false; Component[ComponentNumber]. push_back(j); InComponent[j]=ComponentNumber; } while (j!=i); }}
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