动态规划算法之最长公共子序列问题
来源:互联网 发布:c语言整数四则运算程序 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 20:35
问题描述
给定两个字符串,寻找这两个字串之间的最长公共子序列。
输入格式
输入两行,分别包含一个字符串,仅含有小写字母。
输出格式
最长公共子序列的长度。
样例输入
abcdgh
aedfhb
样例输出
3
样例说明
最长公共子序列为a,d,h。
数据规模和约定
字串长度1~1000。
分析:求最长公共子序列,用动态规划~只需建立一个长宽为两个字符串长度+1的二维数组~dp[i][j]表示String a的前i个字符构成的字符串和String b的前j个字符构成的字符串这两者得到的最长公共子序列的长度为dp[i][j]~~~所以第0行和第0列所有的数都为0~
根据递推公式:
最后一个格子的长度就是两个字符串的最长公共子序列的长度~
#include <iostream> using namespace std; int dp[1001][1001]; int main() { string a, b; cin >> a >> b; for(int i = 1; i <= a.length(); i++) { for(int j = 1; j <= b.length(); j++) { if(a[i-1] == b[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]); } } cout << dp[a.length()][b.length()]; return 0; }
这个解法只能解决求最长子序列长度的问题,并不能得到最长子序列。因此,可以改良一下:
一、问题描述
求两个字符序列的公共最长子序列。例如字符序列abcbdb和字符序列acbbabdbb的最长公共子序列为acbdb。
二、问题分析
(1)用L[i][j]表示子序列xi和yj的最长公共子序列的长度,动态规划函数为
L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1, xi等于yj
= max(L[i][j - 1], L[i - 1][j]), xi不等于yj
边界条件第0行和第0列均为0,即L[i][0] = L[0][j] = 0
上例中L填写情况如下
(2)因为不只要求出最大长度,还要寻找到公共最长子序列,所以在填表L[i][j]过程中,再填一个表S[i][j],
若xi等于yj,设置S[i][j] = 1;
若xi不等于yj,并且len[i + 1][j] >= len[i][j + 1],设置S[i][j] = 2;
若xi不等于yj,并且len[i + 1][j] < len[i][j + 1],设置S[i][j] = 3;
填表S[i][j]完成后,具体如何找到最长公共子序列详见代码注释。
上例中S填写情况及寻找最长公共子序列过程如下
三、算法代码
public static void maxCommonChar(char [] a, char [] b){ int m = a.length; int n = b.length; int [][] len = new int[m + 1][n + 1];//保存动态规划过程中的公共子串长度 int [][] flags = new int[m + 1][n + 1];//保存动态规划过程中的标志位 for(int i = 0; i <= m - 1; i++){//实现动态规划函数 for(int j = 0; j <= n - 1; j++){ if(a[i] == b[j]){//规划函数len[i + 1][j + 1] = len[i][j] + 1, a[i] == b[j] len[i + 1][j + 1] = len[i][j] + 1; flags[i + 1][j + 1] = 1; //设置标志位 }else if(len[i + 1][j] >= len[i][j + 1]){ len[i + 1][j + 1] = len[i + 1][j]; flags[i + 1][j + 1] = 2; }else{ len[i + 1][j + 1] = len[i][j + 1]; flags[i + 1][j + 1] = 3; } } } int k = len[m][n]; //最长公共子串长度 char [] commonChars = new char[k];//保存最长公共子串 int i = m, j = n; //从右下角的格子出发 for(;i > 0 && j > 0;){ if(flags[i][j] == 1){//只有标志位为1相应位置上的字符才为公共字符 commonChars[k - 1] = a[i - 1]; k--; i--; j--; //往斜上方的格子移动 }else if(flags[i][j] == 2){ j--; //往左边的格子移动 }else{ i--; //往上面的格子移动 } } System.out.println("最长公共子序列长度为:" + len[m][n]); System.out.print("最长公共子序列为:"); for(int l = 0; l <= len[m][n] - 1; l++){ System.out.print(commonChars[l] + " "); } }