Wannafly挑战赛6 C逆序对【找规律+详细图解】

逆序对

题目描述

求所有长度为n的01串中满足如下条件的二元组个数：
设第i位和第j位分别位ai和aj（i

输入描述:

输入一个n。

输出描述:

输出答案对1e9+7取模

示例1

输入

3

输出

6

说明

备注:

n<=1018

题意： 略

分析：
正解： 考虑每一位为0的贡献，设当前为第i位，当前则有i-1位，即2i−1个数，根据0和1的个数应该相同，那么1的个数为这些数总数的一半，即(i−1)⋅2i−2。这样的数字共有2n−i个（即后面的位数），所以每一位的贡献是i⋅2i−2总的个数为：
∑ni=2⋅2n−2
即：n(n−1)2×2n−2

可能看了之后不少人都不怎么理解，现在我们来一步一步来分析，首先那长度为4的来分析下，首先一共有24个串，见下图×

现在我们按位来枚举贡献，从右至左，首先第一位的贡献应该为0，其次第二位见下图：

然后考虑第三位，同理应该也有23个串为1，后面为0的个数应该为22×2个
同理第四位贡献应为 22×3个，这样应该就可以很好的理解正解上面说的那个公式了
通项公式找到了就是一个快速幂取模而已

参考代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const ll MOD = 1e9 + 7;ll quick_pow(ll a, ll b) {    ll res = 1;    while (b > 0) {        if(b &1) {            res = res*a % MOD;        }        b >>= 1;        a = a*a % MOD;    }    return res;}int main() {    ll n;cin>>n;    cout<<((((n - 1)%MOD) * (n%MOD) /2 )%MOD* quick_pow(2,n-2))% MOD<<endl;    return 0;}

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