快速幂取模算法

当我们计算AB%C的时候，最便捷的方法就是调用Math函数中的pow方法，但是有时A的B次方数字过大，即使是双精度的double也会溢出，这个时候为了得到AB%C的结果，我们会选择使用快速幂取模算法，简单快速的得到我们想要的结果。

为了防止数字溢出并且降低复杂度，我们需要用到下面的公式:

ab mod c = (a mod c)b mod c

这个公式的意思就是：积的取余等于取余的积的取余。很容易看出来这个公式是具有传递性的，这样我们可以通过不断的取余让a越来越小，防止出现溢出的情况。

理论上，有了这个公式我们就可以写代码了，通过不断的对a进行取模保证结果不会溢出，这确实能计算出较大次方的幂的模，但是这种方法的复杂度仍旧是O(N)，并不快速。

为了更快速的计算出幂的模，我们还要依赖下面这个公式：

ab mod c = (a2)b/2 mod c , b为偶数 ab mod c = ((a2)b/2·a) mod c , b为奇数

这个公式很简单，原理就是不断的用a的平方来代替b，将b替换为原来的一半。因为我们通过第一个公式知道了一个数的模的相同次方的模相同（这句话说的有点绕，就是公式一的意思）。那么我们用a*a%c的结果来代替a效果是一样的。

所以根据上述的公式，我们得到复杂度O（logN）这样的计算快速幂的方法：

import java.util.Scanner;public class Main {    public static void main(String[] args) {        Scanner in = new Scanner(System.in);        int a = in.nextInt(), b = in.nextInt(), c = in.nextInt();        int res = 1;        a %= c;        for (; b != 0; b /= 2) {            if (b % 2 == 1)                res = (res * a) % c;            a = (a * a) % c;        }        System.out.println(res);    }}

这个算法大概如此，第一步先a%=c是为了将a缩小一些，防止在for中第一次进行a*a的时候数字溢出。在for循环中，如果是b为奇数则令res=res*a，直接先将a乘到结果中去，最后做处理，又是为了防止数字溢出直接将res*a的结果mod c操作。这个for循环中，早晚有一天b会等于1，进入if分支，最后将res的值计算完毕mod c退出for循环，的到最后的结果。